Ultraprodukt

Ultraprodukt – sposób budowania nowych modeli z danej rodziny modeli. Ultraprodukty są używane i badane w teorii modeli, teorii mnogości i algebrze. Szczególnym przypadkiem ultraproduktów są ultrapotęgi (w których używa się tylko jednego modelu wyjściowego).

Uwagi historyczne

Niektórzy matematycy twierdzą, że już dowód Kurta Gödla twierdzenia o zupełności rachunku kwantyfikatorów (logiki pierwszego rzędu) z 1930 roku można zinterpretować jako konstrukcję ultrapotęgi. Również konstrukcje rozważane przez Edwina Hewitta w 1948 w związku z ciałami rzeczywiście domkniętymi są uznawane za prekursorów ultraproduktów.

Pierwsza systematyczna i ogólna prezentacja ultraproduktów jako narzędzia w teorii modeli była dana przez polskiego matematyka Jerzego Łosia w roku 1955.

Definicja

Niech $\tau$ będzie alfabetem języka pierwszego rzędu, czyli zbiorem symboli funkcyjnych i predykatów (symboli relacyjnych). Interpretację symbolu relacyjnego $R\in \tau$ w modelu $𝕄$ będziemy oznaczać przez $R^{𝕄}$ (tak więc $R^{𝕄}$ jest relacją $n$-arną na uniwersum $M$ modelu $𝕄,$ gdzie $n$ jest arnością symbolu relacyjnego $R$). Podobnie, jeśli $f\in \tau$ jest $n$-argumentowym symbolem funkcyjnym, to jego interpretacja w modelu $𝕄$ będzie oznaczana przez $f^{𝕄}$ (tak więc, $f^{𝕄}$ jest funkcją z $M^n$ w $M$). Poniżej, każde użycie słowa model oznacza model języka pierwszego rzędu $ℒ(\tau )$ wyznaczonego przez alfabet $\tau .$

Załóżmy, że $I$ jest zbiorem nieskończonym oraz $F$ jest filtrem podzbiorów $I.$ Przypuśćmy też, że dla każdego $i\in I$ ustaliliśmy model ${𝕄}_i$ z uniwersum $M_i.$

Definiujemy produkt zredukowany

$\prod _{i\in I}{𝕄}_i/F$

rodziny modeli $\{{𝕄}_i:i\in I\}$ w sposób następujący.

(a) Na produkcie kartezjańskim

$N=\prod _{i\in I}{M}_i$

określamy relację dwuczłonową $\equiv$ warunkiem

$\eta \equiv \nu$ wtedy i tylko wtedy, gdy ($\eta ,\nu \in N$ oraz) $\{i\in I:\eta (i)=\nu (i)\}\in F$

Relacja $\equiv$ jest relacją równoważności. Niech $M=N/\equiv$ będzie zbiorem klas abstrakcji relacji $\equiv .$

(b) Jeśli $R\in \tau$ jest $n$-arnym symbolem relacyjnym, to określamy jego interpretację $R^{𝕄}$ następująco:

$([{\eta }_1{]}_{\equiv },[{\eta }_2{]}_{\equiv },\dots ,[{\eta }_n{]}_{\equiv })\in R^{𝕄}$ wtedy i tylko wtedy, gdy (${\eta }_1,\dots ,{\eta }_n\in N$ oraz) $\{i\in I:({\eta }_1(i),{\eta }_2(i),\dots ,{\eta }_n(i))\in R^{{𝕄}_i}\}\in F.$

Należy zauważyć, że jeśli ${\eta }_1,{{\eta }_1}^{\prime },{\eta }_2,{{\eta }_2}^{\prime },\dots ,{\eta }_n,{{\eta }_n}^{\prime }\in N$ są takie, że ${\eta }_k\equiv {{\eta }_k}^{\prime }$ (dla $k=1,\dots ,n$), to

$\{i\in I:{\eta }_1(i)={{\eta }_1}^{\prime }(i)\wedge {\eta }_2(i)={{\eta }_2}^{\prime }(i)\wedge \dots \wedge {\eta }_n(i)={{\eta }_n}^{\prime }(i)\}\in F.$

Stąd wynika, że powyższa definicja relacji $R^{𝕄}$ jest poprawna, tzn. nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji.

(c) Jeśli $f\in \tau$ jest $n$-arnym symbolem funkcyjnym, to określamy jego interpretację $f^{𝕄}$ następująco:

przypuśćmy, że $[{\eta }_1{]}_{\equiv },[{\eta }_2{]}_{\equiv },\dots ,[{\eta }_n{]}_{\equiv }\in M.$ Połóżmy $\eta (i)=f^{{𝕄}_i}({\eta }_1(i),\dots ,{\eta }_n(i))$ dla $i\in I$ (tak więc $\eta \in N$). Określamy

$f^{𝕄}([{\eta }_1{]}_{\equiv },\dots ,[{\eta }_n{]}_{\equiv })=[\eta {]}_{\equiv }.$

Tak jak wcześniej, zauważamy, że jeśli ${\eta }_1,{{\eta }_1}^{\prime },{\eta }_2,{{\eta }_2}^{\prime },\dots ,{\eta }_n,{{\eta }_n}^{\prime }\in N$ są takie, że ${\eta }_k\equiv {{\eta }_k}^{\prime }$ (dla $k=1,\dots ,n$), to

$\{i\in I:f^{{𝕄}_i}({\eta }_1(i),\dots ,{\eta }_n(i))=f^{{𝕄}_i}({{\eta }_1}^{\prime }(i),\dots ,{{\eta }_n}^{\prime }(i))\}\in F,$

a więc powyższa definicja funkcji $f^{𝕄}$ jest poprawna, tzn. nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji.

Produkt zredukowany

$\prod _{i\in I}{𝕄}_i/F$

to model z uniwersum $M=N/\equiv$ w którym interpretacje symboli z alfabetu $\tau$ dane są przez opis w (b) i (c).

Jeśli $F$ jest ultrafiltrem (tzn. maksymalnym filtrem właściwym), to model

$\prod _{i\in I}{𝕄}_i/F$

jest nazywany ultraproduktem rodziny modeli $\{{𝕄}_i:i\in I\}.$

Jeśli $F$ jest ultrafiltrem oraz ${𝕄}_i=𝕄$ dla wszystkich $i\in I$ (czyli wszystkie modele są identyczne), to model

$\prod _{i\in I}{𝕄}_i/F=\prod _{i\in I}𝕄/F$

jest nazywany ultrapotęgą modelu $𝕄$. W przypadku ultrapotęg modeli, często używamy notacji ${𝕄}^I/F$ zamiast

$\prod _{i\in I}𝕄/F.$

Przykładowe wyniki i zastosowania

• Twierdzenie Łosia:

Przypuśćmy, że $\tau$ jest alfabetem języka pierwszego rzędu, $F$ jest ultrafiltrem na zbiorze $I,$ ${𝕄}_i$ jest modelem języka $ℒ(\tau )$ (dla $i\in I$) oraz $\phi (x_1,\dots ,x_n)$ jest formułą języka $ℒ(\tau )$ której zmienne wolne zawarte są wśród $x_1,\dots ,x_n.$ Niech ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_n\in \prod _{i\in I}{M}_i.$ Wówczas

$\prod _{i\in I}{𝕄}_i/F\models \phi [[{\eta }_1{]}_{\equiv },\dots ,[{\eta }_n{]}_{\equiv }]$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\{i\in I:{𝕄}_i\models \phi [{\eta }_1(i),\dots ,{\eta }_n(i)]\}\in F.$

• Założmy, że $\tau ,F,I$ są jak powyżej, $𝕄$ jest modelem języka $ℒ(\tau ).$ Dla $z\in M$ niech ${\eta }_z\in M^I$ będzie funkcją stałą daną przez ${\eta }_z(i)=z$ (dla $i\in I$) oraz niech $g(z)=[{\eta }_z{]}_{\equiv }\in M^I/\equiv .$ Wówczas funkcja $g$ jest zanurzeniem elementarnym modelu $𝕄$ w jego ultrapotęgę ${𝕄}^I/F,$ tzn. $g:M⟶M^I/\equiv$ jest funkcją różnowartościową oraz

$𝕄\models \phi [z_1,\dots ,z_n]$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${𝕄}^I/F\models \phi [g(z_1),\dots ,g(z_n)].$

W szczególności, ultrapotęga ${𝕄}^I/F$ jest elementarnie równoważna z $𝕄$ (tzn. te same zdania są spełnione w jednym modelu co i w drugim).

• Z twierdzenia Łosia łatwo wnioskujemy, że:
  • każdy ultraprodukt grup jest grupą,
  • ultraprodukt ciał jest ciałem, ultraprodukt ciał uporządkowanych jest ciałem uporządkowanym,
  • ultraprodukt algebr Boole’a jest algebrą Boole’a,
  • ultraprodukt porządków częściowych jest porządkiem częściowym, ultraprodukt porządków liniowych jest porządkiem liniowym.
• Ultraprodukt nieskończonych dobrych porządków jest dobrym porządkiem wtedy i tylko wtedy, gdy użyty ultrafiltr jest σ-zupełny. (Przypomnijmy, że istnienie niegłównych σ-zupełnych ultrafiltrów na zbiorze nieskończonym jest równoważne z istnieniem liczby mierzalnej.)
• Ultrapotęgi uniwersum teorii mnogości V przy użyciu zupełnych ultrafiltrów są używane w badaniach dużych liczb kardynalnych. Ultrapotęgi są też używane do konstrukcji niestandardowych modeli arytmetyki Peana (PA) czy też modeli analizy niestandardowej. W tym ostatnim kontekście warto zacytować następujący wynik:
• Twierdzenie Rabina-Keslera: Niech $\tau$ będzie przeliczalnym alfabetem. Załóżmy, że κ jest liczbą kardynalną, na której nie istnieją ultrafiltry σ-zupełne. Wówczas

każdy model z uniwersum mocy κ ma właściwe elementarne rozszerzenie do modelu z uniwersum mocy κ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\kappa }^{{\mathrm{\aleph }}_0}=\kappa .$

Charakteryzacja elementarnie równoważnych modeli

Niech $\tau$ będzie przeliczalnym alfabetem. Poniżej, każde użycie słowa model oznacza model języka pierwszego rzędu $ℒ(\tau )$ wyznaczonego przez alfabet $\tau$.

• Twierdzenie Keislera o ultrapotęgach: Załóżmy GCH. Niech ${𝕄}_0,$ ${𝕄}_1$ będą modelami o uniwersach mocy co najwyżej ${\kappa }^{+}.$ Wówczas

${𝕄}_0$ jest elementarnie równoważny z ${𝕄}_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieją ultrafiltry $F,G$ na $\kappa$ takie że ultrapotęgi $({𝕄}_0{)}^{\kappa }/F$ i $({𝕄}_1{)}^{\kappa }/G$ są izomorficzne.

• Twierdzenia Szelacha:
  • Niech ${𝕄}_0,$ ${𝕄}_1$ będą modelami o uniwersach mocy co najwyżej $\kappa .$ Wówczas

${𝕄}_0$ jest elementarnie równoważny z ${𝕄}_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieją ultrafiltry $F,G$ na $2^{\kappa }$ takie że ultrapotęgi $({𝕄}_0{)}^{2^{\kappa }}/F$ i $({𝕄}_1{)}^{2^{\kappa }}/G$ są izomorficzne.

W szczególności, dwa modele są elementarnie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają izomorficzne ultrapotęgi.

• • Twierdzenia Keislera nie można udowodnić tylko w systemie ZFC, bez założenia GCH, bo następujące zdanie jest niesprzeczne z ZFC:

Istnieją elementarnie równoważne przeliczalne grafy $G_0,G_1$ takie, że żadne ich ultrapotęgi $(G_0{)}^{\omega }/F_0,$ $(G_1{)}^{\omega }/F_1$ nie są izomorficzne.

Warto zauważyć, że dowód powyższego twierdzenia (w którym Shelah skonstruował odpowiednie pojęcie forsingu) okazał się być bardzo stymulujący dla późniejszego rozwoju teorii forsingu i teorii forsingów proper.