Ciało (formalnie) rzeczywiste

Ciało (formalnie) rzeczywiste – ciało $K,$ w którym zachodzi

$a_1^2+\dots +a_n^2=0\Rightarrow a_1=\dots =a_n=0\text{dla}{a}_i\in K,$

czyli, jeśli suma kwadratów elementów z ciała wynosi zero, to każdy z tych elementów musi być równy zero.

Powyższy warunek jest równoważny każdej z dwóch poniższych własności:

• $-1\in K$ nie jest sumą kwadratów w $K,$
• ciało $K$ może być liniowo uporządkowane.

Ciało, które nie jest formalnie rzeczywiste, nazywamy nierzeczywistym.

Ciało rzeczywiście domknięte to ciało $K$ spełniające którykolwiek z następujących równoważnych warunków:

1. $K$ jest ciałem formalnie rzeczywistym, które nie ma rozszerzenia algebraicznego będącego ciałem (formalnie) rzeczywistym.
2. Istnieje porządek liniowy ≤ taki, że $(K,⩽)$ jest ciałem uporządkowanym, w którym każdy element dodatni ma pierwiastek kwadratowy w $K,$ i każdy wielomian nieparzystego stopnia o współczynnikach z $K$ ma pierwiastek w $K.$
3. Istnieje porządek liniowy $⩽$ taki, że $(K,⩽)$ jest euklidesowym ciałem uporządkowanym i każdy wielomian nieparzystego stopnia o współczynnikach z $K$ ma pierwiastek w $K.$
4. Element $-1$ nie jest kwadratem w $K,$ a ciało $K(\sqrt{-1})$ jest algebraicznie domknięte.

Teorię ciał formalnie rzeczywistych i ciał uporządkowanych z wykorzystaniem istnienia domknięć rzeczywistych stworzyli E. Artin i O. Schreier w latach 1926–1927, dowodząc między innymi, że:

1. Każde ciało formalnie rzeczywiste ma rozszerzenie algebraiczne, które jest rzeczywiście domknięte (nazywane jego domknięciem rzeczywistym).
2. Każde ciało uporządkowane ma rzeczywiste domknięcie, które wyznacza w nim dany jego porządek.
3. Jeśli ciało algebraicznie domknięte $C$ jest właściwym skończonym rozszerzeniem ciała $K,$ to ciało $K$ jest rzeczywiście domknięte i $C=K(\sqrt{-1}).$

Artin wykorzystał te wyniki do rozwiązania 17. problemu Hilberta.