Przestrzeń metryczna

Szablon:Spis treści Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru^[1].

Przestrzenie metryczne tworzą najogólniejszą klasę zbiorów, w których używa się pojęcia odległości wzorowanej na odległości znanej z przestrzeni euklidesowych (prostej, płaszczyzny czy przestrzeni trójwymiarowej).

Wprowadzone zostały przez Maurice’a Frécheta^[2].

Definicja metryki

Niech $X$ oznacza dowolny niepusty zbiór. Metryką w zbiorze $X$ nazywa się funkcję^[3]

d : X \times X \to [0, + \infty),

która dla dowolnych elementów $a, b, c$ tego zbioru spełnia warunki:

identyczność nierozróżnialnych
$d (a, b) = 0 ⟺ a = b,$
symetria
$d (a, b) = d (b, a),$
nierówność trójkąta
$d (a, b) ⩽ d (a, c) + d (c, b) .$

Gdy $d$ jest metryką w zbiorze $X,$ to parę $(X, d)$ nazywa się przestrzenią metryczną,

elementy zbioru $X$ nazywa się punktami,
liczbę $d (a, b)$ nazywa się odległością punktu $a$ od punktu $b .$

Uwaga 1.

Niekiedy pomija się warunek nieujemności $d (a, b) ⩾ 0$ przyjmując $d : X \times X \to ℝ$ zamiast $d : X \times X \to [0, + \infty) .$

Wynika on bowiem z wypisanych wyżej aksjomatów:

0 = d (a, a) ⩽ d (a, b) + d (b, a) = 2 \cdot d (a, b) .

Uwaga 2.

Można wyeliminować aksjomat symetrii, gdy zastąpi się warunek trójkąta warunkiem:

d (a, b) ⩽ d (a, c) + d (b, c) .

Dowód:

1) Przyjmując w powyższym warunku $c = a$ dostaniemy:

d (a, b) ⩽ d (a, a) + d (b, a) = d (b, a) .

2) Zamieniając w powyższym warunku $a$ i $b$ oraz przyjmując $c = b$ dostaniemy:

d (b, a) ⩽ d (b, b) + d (a, b) = d (a, b) .

3) Z powyższych dwóch nierówności wynika: $d (a, b) = d (b, a),$ c.n.d.

Metryki w przestrzeni liniowej

W przestrzeni liniowej (np. euklidesowej, unormowanej, unitarnej) można wprowadzić różnie zdefiniowane metryki. W wyniku tego przestrzeń nabywa dodatkowej struktury – powstaje przestrzeń metryczna. W poniższych przykładach $𝐱 = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ oraz $𝐲 = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ oznaczają elementy przestrzeni $ℝ^{n} .$

Metryka euklidesowa

Metrykę euklidesową w przestrzeni $ℝ^{n}$ definiuje się wzorem

d_{e} (𝐱, 𝐲) = \sqrt{(y_{1} - x_{1})^{2} + \dots + (y_{n} - x_{n})^{2}},

tzn. jako pierwiastek euklidesowego iloczynu skalarnego różnicy dwóch wektorów przez siebie:

d_{e} (𝐱, 𝐲) = \sqrt{⟨ 𝐲 - 𝐱, 𝐲 - 𝐱 ⟩} .

W przypadku jednowymiarowym powyższy wzór redukuje się do wartości bezwzględnej różnic współrzędnych punktów $𝐱 = (x_{1})$ oraz $𝐲 = (y_{1})$

d_{e} (𝐱, 𝐲) = | y_{1} - x_{1} | .

Metryka generowana przez normę

Jeżeli $(X, ‖ \cdot ‖)$ jest przestrzenią unormowaną, to jako odległość (metrykę) punktów $𝐱, 𝐲$ można przyjąć długość (normę) wektora, będącego różnicą wektorów $𝐱, 𝐲,$ tj.

d (𝐱, 𝐲) = ‖ 𝐱 - 𝐲 ‖

dla

𝐱, 𝐲 \in X

Metryka ta jest uogólnieniem metryki euklidesowej. Np. metrykami są funkcje postaci

‖ 𝐱 - 𝐲 ‖_{p} = (| x_{1} - y_{1} |^{p} + | x_{2} - y_{2} |^{p} + \dots + | x_{n} - y_{n} |^{p})^{1 / p},

gdzie $1 ⩽ p < \infty .$ Metryka $‖ \cdot ‖_{2}$ jest metryką euklidesową i oznacza się ją symbolem $| \cdot | .$

Metrykę, którą definiuje się w oparciu o normę przestrzeni, nazywa się metryką generowaną przez normę.

Metryka miejska

Gdy $p = 1$ , metryka generowana przez normę nazywana jest metryką miejską^[4] lub metryką Manhattan^[5] w przestrzeni $ℝ^{n}$ :

d (𝐱, 𝐲) = | y_{1} - x_{1} | + | y_{2} - x_{2} | + . . . + | y_{n} - x_{n} | .

Jej nazwa wywodzi się z faktu, że mierząc odległość między punktami, możemy poruszać się tylko wzdłuż prostopadłych linii, na podobieństwo ulic na gęsto zabudowanym Manhattanie.

Metryka maksimum

Szablon:Szachownica

Szablon:Zobacz też Metryka maksimum zwana także metryką nieskończoność, maksimum, Czebyszewa, szachową jest określona w przestrzeni $ℝ^{n}$ za pomocą wzoru

d_{\infty} (𝐱, 𝐲) = \max_{k = 1, \dots, n} | x_{k} - y_{k} |

– odległość ta jest de facto metryką generowaną przez normę maksimum zadaną wzorem

‖ 𝐱 ‖_{\infty} = \max {| x_{i} | : i = 1, \dots, n} .

Kula w tej metryce jest kostką n-wymiarową.

Łatwo sprawdzić, że w grze w szachy minimalna liczba ruchów, jakie musi wykonać król, aby przejść z pewnego pola na inne określona jest tą metryką (na rysunku obok pokazano możliwe ruchy króla z danego pola).

Metryka węzła kolejowego

Szablon:Zobacz też Metryka węzła kolejowego zwana także metryką centrum, kolejową, metra paryskiego może być zdefiniowana na płaszczyźnie.

Niech $O$ będzie pewnym ustalonym punktem na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów $A, B$ w tej metryce wyznacza się następująco:

Jeżeli punkty leżą na prostej przechodzącej przez punkt

O,

to

d_{k} (A, B) = d_{e} (A, B),

w przeciwnym wypadku

d_{k} (A, B) = d_{e} (A, O) + d_{e} (O, B) .

Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń $ℝ^{n},$ w której ustalono pewien jej punkt $O .$

Metrykę powyższą można też zastosować do labiryntu, w którym wszystkie korytarze są prostymi rozchodzącymi się gwiaździście od jednego punktu $O .$ Przejście z jednego korytarza do drugiego wymaga dotarcia do skrzyżowania (centrum), aby możliwe było skręcenie w docelowy korytarz. Długość pokonanej trasy odpowiada odległości wyliczonej w tej metryce.

Metryka rzeka

Niech $r$ będzie ustaloną prostą na płaszczyźnie. Odległość $d_{r} (A, B)$ punktów $A, B$ w metryce rzece wyznacza się następująco:

Jeżeli punkty leżą na prostej prostopadłej do prostej

r,

to

d_{r} (A, B) = d_{e} (A, B),

w przeciwnym wypadku

d_{r} (A, B) = d_{e} (A, C_{1}) + d_{e} (C_{1}, C_{2}) + d_{e} (C_{2}, B) .

gdzie

C_{1}, C_{2}

są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio

A, B

na prostą

r .

Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń $ℝ^{n},$ w której ustalono pewną jej prostą $r .$

Metrykę tę można zastosować np. do mierzenia trasy pokonanej drogą wodną w sieci złożonej z rzeki i licznych, prostopadłych jej dopływów (por. rysunek).

Uogólniona metryka rzeka

Dalsze uogólnienie tej i poprzedniej metryki w $ℝ^{n}$ można uzyskać przyjmując zamiast punktu i prostej rozmaitość liniową $𝕣$ wymiaru a spełniającego $0 ⩽ a < n .$ Niech ponadto $0 < b < n,$ przy czym $a + b ⩽ n .$

Jeżeli punkty

A, B

leżą na pewnej rozmaitości wymiaru

b

prostopadłej do rozmaitości

r,

to

d_{r} (A, B) = d_{e} (A, B),

w przeciwnym wypadku

d_{r} (A, B) = d_{e} (A, C_{1}) + d_{e} (C_{1}, C_{2}) + d_{e} (C_{2}, B) .

gdzie

C_{1}, C_{2}

są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio

A, B

na prostą

r .

Dla a=1, b=1 jest to metryka rzeka, dla a=0, b=1 jest to metryka węzła kolejowego.

Metryka dyskretna

Metrykę dyskretną zwaną także metryką zero-jedynkową wprowadzić można w dowolnym niepustym zbiorze. Odległość $d_{d} (x, y)$ punktów $x$ oraz $y$ zbioru $X$ określa wzór^[3]

d_{d} (x, y) = {\begin{matrix} 0, & gdy x = y, \\ 1, & gdy x \neq y . \end{matrix}

Parę $X$ z metryką $d_{d}$ nazywa się przestrzenią metryczną dyskretną.

Porównanie metryk przytoczonych w przykładach

Dla $n = 1$ metryki euklidesowa, miejska (Manhattan), maksimum (szachowa) pokrywają się. Jeżeli $n = 2,$ to metryki maksimum (szachowa) i Manhattan nie pokrywają się, ale czynią z płaszczyzny przestrzenie izometryczne (tzn. izomorficzne metrycznie, czyli nierozróżnialne metrycznie), gdyż w obu przypadkach kulami są kwadraty z przestrzeni euklidesowej, ale o różnym położeniu (odpowiednio o bokach równoległych do osi oraz obróconych względem osi o 45°).

Metryka w przestrzeniach pseudoriemannowskich

Powierzchnia sfery, elipsoidy obrotowej, hiperboloidy obrotowej, czy też 4-wymiarowa czasoprzestrzeń opisywana w ogólnej teorii względności są przykładami przestrzeni nieeuklidesowych, które określa się jako rozmaitości riemannowskie i najogólniejsze – rozmaitości pseudoriemannowskie.

Nie da się w ogólnym przypadku wprowadzić tu metryki opisanej prostym wzorem, tak jak w przestrzeniach liniowych, np. w przestrzeni euklidesowej. Podstawową rolę gra tu tensor metryczny.

Niech $M$ będzie rozmaitością wymiaru $n$ i niech dany będzie układ współrzędnych krzywoliniowych, tak że każdy punkt rozmaitości ma określone współrzędne krzywoliniowe $𝐱 = (x^{1}, \dots, x^{n}) .$

Odległość infinitezymalna

Tensor metryczny definiuje infinitezymalne odległości między punktami: długość wektora $d 𝐱 = (d x^{1}, \dots, d x^{n})$ łączącego punkt $𝐱$ z infinitezymalnie odległym punktem $𝐲 = 𝐱 + d 𝐱$ zadana jest wzorem

| d 𝐱 | = \sqrt{| \sum_{i, j = 1}^{n} g_{i j} (𝐱) d x^{i} d x^{j} |}

gdzie:

g_{i j} (𝐱), i, j = 1, \dots, n

– współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia $𝐱$ )

Odległość dowolnych punktów

Dla punktów $𝐱, 𝐲$ rozmaitości $M$ dowolnie odległych metrykę definiuje się jako kres dolny zbioru, zawierającego długości krzywych $γ$ ciągłych i różniczkowalnych, łączących punkty $𝐱, 𝐲,$ czyli

d (𝐱, 𝐲) = \inf {L (γ), γ \in M, γ (a) = 𝐱, γ (b) = 𝐲}

gdzie:

$\inf {\dots}$ = infimum = kres dolny zbioru
$L (γ) = \int_{a}^{b} \sqrt{| \sum_{i, j = 1}^{n} g_{i j} (γ (t)) \frac{d γ^{i} (t)}{d t} \frac{d γ^{j} (t)}{d t} |} d t$ – długość krzywej $γ$

przy czym krzywa $γ$ dana jest przez $n$ równań parametrycznych

γ (t) = [γ^{1} (t), \dots, γ^{n} (t)],

t \in ⟨ a, b ⟩

oraz

γ (a) = 𝐱, γ (b) = 𝐲

Dla przestrzeni riemannowskich odległość punktów jest wyznaczona przez łuk krzywej geodezyjnej. Dla sfery będzie to łuk koła wielkiego, na którym leżą dwa punkty. A np. dla czasoprzestrzeni, która jest 4-wymiarową przestrzenią pseudoriemannowską, odległość może być zerowa, jeśli łączy dwa punkty – tzw. zdarzenia czasoprzestrzenne – które są związane z rozchodzeniem się sygnału świetlnego.

Topologia przestrzeni metrycznej

Przestrzeń metryczną $X$ łatwo jest przekształcić w przestrzeń topologiczną, definiując następująco topologię:

a) bazę topologii stanowi rodzina wszystkich kul otwartych, tj. zbiorów postaci

B (x, r) = {y \in X : d (x, y) < r},

gdzie $x$ – dowolny elementem przestrzeni $X,$ $r$ – promień kuli $(r > 0),$

b) podzbiór $U$ przestrzeni $X$ należy do topologii (czyli jest zbiorem otwartym), jeżeli jest sumą kul otwartych.

Taką topologię nazywa się topologią generowaną na zbiorze $X$ przez metrykę $d .$

Metryzowalna przestrzeń topologiczna

Szablon:Osobny artykułPrzestrzeń topologiczną $(X, τ)$ nazywamy przestrzenią metryzowalną, jeśli da się w niej wprowadzić topologię generowaną przez jakąś metrykę. Przykładami twierdzeń dotyczących metryzacji przestrzeni topologicznych są:

Z punktu widzenia topologii metryki służą badaniu przestrzeni metryzowalnych (analogicznie jak układy współrzędnych służą badaniu przestrzeni euklidesowych).

Własności przestrzeni metrycznych

Tw. 1 Każda przestrzeń metryczna jest

parazwarta,
doskonale normalna,
Hausdorffa,
spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.

Tw. 2 Poniższe niezmienniki topologiczne są równoważne w przestrzeniach metrycznych:

Definicja odległości punktu od zbioru

Szablon:Osobny artykuł Odległością (odstępem) punktu $x$ od zbioru $A$ nazywa się funkcję

δ_{A} (x) = \inf {d (x, a) : a \in A} .

Równoważność metryk

Definicja

Niech $(X, d_{1}), (X, d_{2})$ będą przestrzeniami metrycznymi.

Df. 1 Metryki $d_{1}, d_{2}$ nazywa się równoważnymi topologicznie, jeżeli granice dowolnych ciągów obliczone z użyciem tych metryk są identyczne^[6].

Df. 2 Metryki $d_{1}, d_{2}$ nazywa się równoważnymi lipschitzowsko, jeżeli istnieją stałe $c, C > 0,$ takie że dla każdego $x, y \in X$ spełniony jest warunek

c \cdot d_{1} (x, y) ⩽ d_{2} (x, y) ⩽ C \cdot d_{1} (x, y) .

Twierdzenia o metrykach równoważnych

Tw. 1 Metryki równoważne lipschitzowsko są równoważne topologicznie: jeśli pewien ciąg elementów zbioru $X$ jest zbieżny w sensie metryki $d_{1},$ to jest także zbieżny w sensie metryki $d_{2} .$

Tw. 2 W rzeczywistej przestrzeni liniowej skończonego wymiaru wszystkie metryki indukowane przez normy Banacha są równoważne lipschitzowsko, a więc i topologicznie.

Tw. 3 Gdy dwie normy Banacha zdefiniowane na tej samej przestrzeni liniowej są topologicznie równoważne, to są one także równoważne lipschitzowsko.

Metryka niezmiennicza na przesunięcia

Metrykę $d$ nazywa się niezmienniczą ze względu na przesunięcia, jeśli na przestrzeni metrycznej $X$ określone jest działanie dodawania $+ : X \times X \to X$ i dla dowolnych punktów $a, x, y \in X$ zachodzi warunek

d (x, y) = d (x + a, y + a) .

Uogólnienia

Rozpatruje się wiele funkcji spełniających podobne układy aksjomatów:

zastępując aksjomat identyczności nierozróżnialnych następującym

d (a, a) = 0

uzyskuje się tzw. pseudometrykę.

rezygnując z aksjomatu symetrii uzyskuje się quasi-metrykę
zastępując warunek trójkąta aksjomatem

d (a, b) ⩽ \max {d (a, c), d (c, b)}

uzyskuje się funkcję nazywaną ultrametryką.

Zobacz też

Inne typy metryk:

Pseudometryki:

pseudometryka pseudoriemannowska

Przestrzenie metryzowalne:

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.

Literatura dodatkowa

Polskojęzyczna

Anglojęzyczna

Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, European Mathematical Society, 2004, Szablon:ISBN.

Linki zewnętrzne

Szablon:Pismo Delta
Szablon:Otwarty dostęp Agnieszka Badeńska, Metryki, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 18 września 2017 [dostęp 2024-09-04].
Szablon:MathWorld [dostęp 2023-10-10].
Szablon:Otwarty dostęp Metric space Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].

Szablon:Funkcje ciągłe Szablon:Funkcje matematyczne

Szablon:Kontrola autorytatywna

↑ Szablon:Encyklopedia PWN
↑ Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1–74.
↑ ^3,0 ^3,1 Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, s. 31.
↑ Szablon:Cytuj
↑ Szablon:Cytuj
↑ Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, s. 33.

[1] Szablon:Encyklopedia PWN

[2] Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1–74.

[Kołodziej-31-3] 3,0 ^3,1 Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, s. 31.

[4] Szablon:Cytuj

[5] Szablon:Cytuj

[6] Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, s. 33.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Przestrzeń metryczna

Definicja metryki

Uwaga 1.

Uwaga 2.

Metryki w przestrzeni liniowej

Metryka euklidesowa

Metryka generowana przez normę

Metryka miejska

Metryka maksimum

Metryka węzła kolejowego

Metryka rzeka

Uogólniona metryka rzeka

Metryka dyskretna

Porównanie metryk przytoczonych w przykładach

Metryka w przestrzeniach pseudoriemannowskich

Odległość infinitezymalna

Odległość dowolnych punktów

Topologia przestrzeni metrycznej

Metryzowalna przestrzeń topologiczna

Własności przestrzeni metrycznych

Definicja odległości punktu od zbioru

Równoważność metryk

Definicja

Twierdzenia o metrykach równoważnych

Metryka niezmiennicza na przesunięcia

Uogólnienia

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Literatura dodatkowa

Linki zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Szukaj