Metryka Hausdorffa

Szablon:Spis treści Metryka Hausdorffa, zwana inaczej odstępem Hausdorffa – odległość pomiędzy zwartymi podzbiorami przestrzeni metrycznej zupełnej $X .$

Definicja

Niech $(X, d)$ będzie dowolną przestrzenią metryczną zupełną, a $H (X)$ przestrzenią, której elementami są zwarte i niepuste podzbiory przestrzeni $X .$ Niech $A$ i $B$ będą elementami przestrzeni $H (X),$ a $x, y$ elementami przestrzeni $X,$ przy czym $x \in A, y \in B .$ Wyrażenia:

δ (x, B) = \inf {d (x, y) : y \in B}

δ (y, A) = \inf {d (x, y) : x \in A}

oznaczają odpowiednio odstęp punktu $x$ od zbioru $B$ i odstęp punktu $y$ od zbioru $A .$ Z kolei wyrażenia:

δ (A, B) = \sup {δ (x, B) : x \in A}

δ (B, A) = \sup {δ (y, A) : y \in B}

oznaczają odpowiednio odstęp zbioru $A$ od zbioru $B$ i odstęp zbioru $B$ od zbioru $A .$
Metryką Hausdorffa nazywamy funkcję $h : H (X) \times H (X) \to [0; \infty)$ określoną wzoremSzablon:Odn Szablon:Odn Szablon:Odn:

h (A, B) = \max {δ (A, B), δ (B, A)}

Uwagi

Minima i maksima w powyższych zbiorach są osiągane ze względu na zwartość zbiorów $A$ i $B .$
Gdy $A \subseteq B,$ to $δ (A, B) = 0 .$
Gdy $B ∖ A \neq \emptyset,$ to $δ (B, A) \neq 0 .$
Odstępy $δ (A, B)$ i $δ (B, A)$ mogą być różne. Jest tak na przykład, gdy $A$ jest podzbiorem właściwym zbioru $B .$
Alternatywnie, metrykę Hausdorffa można zdefiniować w języku $ϵ$ -otoczeń. Dla danego zbioru $A$ i $ϵ > 0$ oznaczamy $B (x, ϵ)$ kulę o środku $x$ i promieniu $ϵ$ oraz określamy

A_{ϵ} = ⋃_{x \in A} B (x, ϵ) .

Wówczas metrykę Hausdorffa możemy przedstawić w postaci wyrażenia:

h (A, B) = \inf {ϵ : B \subset A_{ϵ}

oraz

A \subset B_{ϵ}} .

Odwzorowanie $x \mapsto {x}$ jest zanurzeniem izometrycznym przestrzeni $X$ w przestrzeń $H (X) .$ Ponadto zbiór ${{x} : x \in X}$ jest domknięty w $H (X),$ co oznacza, że ciąg zbiorów jednoelementowych może zbiegać co najwyżej do zbioru jednoelementowego.

Przestrzeń $(H (X), h),$ z wprowadzoną metryką Hausdorffa $h$ jest przestrzenią metryczną zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest zupełnaSzablon:Odn Szablon:Odn Szablon:Odn.
Topologia przestrzeni $(H (X), h)$ zależy od topologii przestrzeni $(X, d),$ a nie od samej metryki $d :$ gdy metrykę $d$ zastąpić przez topologicznie równoważną $d$ ' (obie w $X$ ), to nowa, indukowana metryka Hausdorffa w $H (X)$ będzie topologicznie równoważna starej (będzie indukować tę samą topologię w $H (X)$ ).

$H (X)$ jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią zwartą.

Zbiór ${F \subset X : F$ jest skończony $}$ jest gęsty w $H (X) .$

Przykład

W przestrzeni $(ℝ^{2}, d)$ z metryką euklidesową rozważmy dwa zbiory domknięte: $A : = [- 2; 1] \times [- 2; 1]$ oraz $B : = [0; 2] \times [0; 2] .$ Odpowiednie odległości wynoszą:

δ (A, B) = \sqrt{8},

δ (B, A) = \sqrt{2},

h (A, B) = \sqrt{8} .

Uogólnienia

Metryka Hausdorffa może być definiowana w podobny sposób dla domkniętych i niekoniecznie zwartych podzbiorów przestrzeni $X .$ W tym wypadku metryka może przyjmować wartości nieskończone, a topologia przestrzeni $H (X)$ będzie zależeć nie tylko od topologii przestrzeni $X,$ ale też od użytej w $X$ metryki $d .$

Z kolei dla zbiorów niekoniecznie domkniętych można podobnie zdefiniować funkcję odległości, jako odległość między domknięciami tych zbiorów. Funkcja będzie pseudometryką (nie będzie spełniać warunków metryki – odległość pomiędzy dwoma różnymi zbiorami mającymi to samo domknięcie będzie równa zero, wbrew pierwszemu warunkowi definicji metryki).

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia