Pochodne Wirtingera

Szablon:Spis treści Pochodne Wirtingera, operatory Wirtingera^[1] – operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu zachowujące się w bardzo podobny sposób do zwykłych pochodnych względem zmiennej rzeczywistej po przyłożeniu ich do funkcji holomorficznych, antyholomorficznych lub po prostu różniczkowalnych w obszarach płaszczyzny zespolonej. Operatory te umożliwiają, dla wspomnianych funkcji, konstrukcję rachunku różniczkowego całkowicie analogicznego do rachunku różniczkowego zwyczajnego funkcji zmiennych rzeczywistych^[2]. Pojęcie nosi nazwisko Wilhelma Wirtingera, który wprowadził je w 1927 roku.

Pomimo ich powszechnego zastosowania^[3], zdaje się, że brakuje pracy, która zawierałaby wszystkie własności pochodnych Wirtingera; jednakże krótki kurs wielowymiarowej analizy zespolonej autorstwa Andreottiego (1976)^[4] i monografia Kaupa (1984)^[5] zawierają dość kompletny wykład na ich temat; z tego powodu będą używane w tym artykule jako główne źródło odniesienia.

Uwagi historyczne

Pochodne Wirtingera wykorzystywano w analizie zespolonej, jak to zauważyli Cherry i Ye (2001, s. 31), co najmniej od czasów pracy Poincarégo (1899). Istotnie, w trzecim akapicie^[6] tej pracy Henri Poincaré definiuje najpierw zmienną zespoloną w $ℂ^{n},$ a następnie jej sprzężenie zespolone wzorem

x_{k} + i y_{k} = z_{k} x_{k} - i y_{k} = u_{k},

gdzie wskaźnik $k$ ma w domyśle przebiegać od 1 do n. Następnie pisze on równanie definiujące funkcje, które nazywa on biharmonique^[7], wcześniej zapisane za pomocą pochodnych cząstkowych względem zmiennych rzeczywistych $x_{k}, y_{q}$ dla $k$ oraz $q$ przebiegających od $1$ do $n$ w dokładnie następujący sposób^[8]

\frac{d^{2} V}{d z_{k} d u_{q}} = 0 .

Oznacza to, że przyjął on drugą (wielowymiarową) definicję przedstawioną niżej: aby się o tym przekonać, wystarczy porównać równania 2 oraz 2' w pracy Poincarégo (1899, 112). Jednakże pierwsze systematyczne wprowadzenie pochodnych Wirtingera pochodzi od Wilhelma Wirtingera (1926), które miało na celu uproszczenie obliczeń wielkości pojawiających się w teorii funkcji kilku zmiennych zespolonych: wynikiem wprowadzenia tych operatorów różniczkowych było znaczące uproszczenie postaci wszystkich operatorów różniczkowych, powszechnie stosowanych w teorii, jakimi są np. operator Leviego czy operator Cauchy’ego-Riemanna.

Konwencje

Dalej płaszczyzna zespolona $ℂ$ będzie utożsamiana z płaszczyzną euklidesową $ℝ^{2} .$

W przypadku wielowymiarowym symbol $C^{n}$ będzie oznaczać przestrzeń euklidesową nad ciałem liczb zespolonych i będzie wykorzystywane następujące utożsamienie:

ℂ^{n} ≃ ℝ^{2 n} = {(𝐱, 𝐲) = (x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{n}) : 𝐱, 𝐲 \in ℝ^{n}} .

Wówczas $𝐳 \in ℂ^{n}$ będzie traktowany jako wektor zespolony $(𝐱, 𝐲),$ gdzie $𝐱$ oraz $𝐲$ są wektorami rzeczywistymi, przy czym $n ⩾ 1;$ ponadto podzbiór $Ω$ będzie postrzegany jako obszar rzeczywistej przestrzeni euklidesowej $ℝ^{2 n}$ lub też jej zespolonej odpowiedniczki z nią izomorficznej, $ℂ^{n} .$

Definicje

Pochodne Wirtingera definiuje się jako następujące liniowe operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu:

\frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y}), \frac{\partial}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y}) .

W przypadku wielowymiarowym pochodne Wirtingera przyjmuje się, że są to następujące macierzowe liniowe operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu:

{\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial z_{1}} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial x_{1}} - i \frac{\partial}{\partial y_{1}}) \\ ⋮ \\ \frac{\partial}{\partial z_{n}} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial x_{n}} - i \frac{\partial}{\partial y_{n}}) \end{matrix}, {\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial \overline{z_{1}}} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial x_{1}} + i \frac{\partial}{\partial y_{1}}) \\ ⋮ \\ \frac{\partial}{\partial \overline{z_{n}}} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial x_{n}} + i \frac{\partial}{\partial y_{n}}) \end{matrix} .

Naturalną dziedziną definicji tych operatorów różniczkowych cząstkowych jest przestrzeń $C^{1}$ funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły określonych na obszarze $Ω \subseteq ℝ^{2 n}$ dla $n ⩾ 1,$ jednakże ponieważ operatory te są liniowe i mają stałe współczynniki, to mogą być łatwo rozszerzone na każdą przestrzeń funkcji uogólnionych.

Podstawowe własności

Dowody poniższych własności wynikają wprost z przyjętych definicji.

Liniowość

Jeżeli $f, g \in C^{1} (Ω),$ zaś $α, β \in ℂ,$ to dla wszystkich $i = 1, \dots, n$ zachodzi następująca równość

\frac{\partial}{\partial z_{i}} (α f + β g) = α \frac{\partial f}{\partial z_{i}} + β \frac{\partial g}{\partial z_{i}}, \frac{\partial}{\partial \overline{z_{i}}} (α f + β g) = α \frac{\partial f}{\partial \overline{z_{i}}} + β \frac{\partial g}{\partial \overline{z_{i}}} .

Reguła Leibniza

Jeżeli $f, g \in C^{1} (Ω),$ to dla wszystkich $i = 1, \dots, n$ zachodzi reguła Leibniza:

\frac{\partial}{\partial z_{i}} (f \cdot g) = \frac{\partial f}{\partial z_{i}} \cdot g + f \cdot \frac{\partial g}{\partial z_{i}}, \frac{\partial}{\partial \overline{z_{i}}} (f \cdot g) = \frac{\partial f}{\partial \overline{z_{1}}} \cdot g + f \cdot \frac{\partial g}{\partial \overline{z_{i}}} .

Zobacz też

równania Cauchy’ego-Riemanna

Przypisy

Szablon:Przypisy

Literatura

Szablon:Cytuj książkę
Szablon:Cytuj
Szablon:Cytuj książkę
Szablon:Cytuj książkę
Szablon:Cytuj książkę
Szablon:Cytuj książkę
Szablon:Cytuj książkę; notatki z wykładu Francesca Severiego w Istituto Nazionale di Alta Matematica w Rzymie (dziś jego imienia) z przypisami dodatkami Enza Martinelliego, Giovanniego Battisty Rizzy oraz Maria Benedicty’ego.

Bibliografia

↑ Zob. Fichera 1986, s. 62.
↑ Niektóre podstawowe własności pochodnych Wirtingera pokrywają się z własnościami charakteryzującymi pochodne zwyczajne (lub cząstkowe) używane do konstrukcji zwykłego rachunku różniczkowego.
↑ Z powołaniem się na nazwisko Wilhelma Wirtingera lub nie.
↑ Aldo Andreotti wykorzystuje własności pochodnych Wirtingera w celu wykazania zamkniętości algebry funkcji holomorficznych ze względu na pewne operacje.
↑ Ta książka zawiera pewne własności pochodnych Wirtingera także w przypadku ogólnym funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły.
↑ Zob. Poincaré 1899, s. 111–114.
↑ Funkcje te są dokładnie pluriharmonicznymi, a operator różniczkowy liniowy je definiujący, tzn. operator w równaniu 2 w pracy Poincarégo (1899, s. 112), jest n-wymiarowym operatorem pluriharmonicznym.
↑ Zob. Poincaré (1899, s. 112), równanie 2': w pracy tej, zamiast popularniejszego oznaczenia $\partial,$ to litera $d$ służy jako symbol pochodnej cząstkowej.

[1] Zob. Fichera 1986, s. 62.

[2] Niektóre podstawowe własności pochodnych Wirtingera pokrywają się z własnościami charakteryzującymi pochodne zwyczajne (lub cząstkowe) używane do konstrukcji zwykłego rachunku różniczkowego.

[3] Z powołaniem się na nazwisko Wilhelma Wirtingera lub nie.

[4] Aldo Andreotti wykorzystuje własności pochodnych Wirtingera w celu wykazania zamkniętości algebry funkcji holomorficznych ze względu na pewne operacje.

[5] Ta książka zawiera pewne własności pochodnych Wirtingera także w przypadku ogólnym funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły.

[6] Zob. Poincaré 1899, s. 111–114.

[7] Funkcje te są dokładnie pluriharmonicznymi, a operator różniczkowy liniowy je definiujący, tzn. operator w równaniu 2 w pracy Poincarégo (1899, s. 112), jest n-wymiarowym operatorem pluriharmonicznym.

[8] Zob. Poincaré (1899, s. 112), równanie 2': w pracy tej, zamiast popularniejszego oznaczenia $\partial,$ to litera $d$ służy jako symbol pochodnej cząstkowej.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]