Operacja n-arna

Operacja $n$-arna (działanie $n$-arne) $\omega$ w zbiorze $G$ – w algebrze, funkcja, która dla ustalonego $n\ge 0$ każdemu $n$-elementowemu ciągowi $(a_1,\dots ,a_n)$ elementów ze zbioru $G$ przyporządkowuje pewien element $\omega (a_1,\dots ,a_n)$ także ze zbioru $G.$ Innymi słowy jest to dowolne odwzorowanie ze zbioru $G^n=G\times \dots \times G$ ($n$-krotnego iloczynu kartezjańskiego) w zbiór $G.$

Operacją 1-arną (unarną) jest każde odwzorowanie zbioru $G$ w zbiór $G.$ Operacja 0-arna ustala w zbiorze $G$ pewien określony element.

Zamiast o operacjach $n$-arnych mówi się często o operacjach $n$-argumentowych lub działaniach $n$-argumentowych. Na przykład o działaniach dwuargumentowych, trzyargumentowych itd. Operacjami 0-arnymi są na przykład elementy neutralne działań.

Operacja $n$-arna jest podstawowym pojęciem algebry ogólnej, zajmującej się tzw. algebrami uniwersalnymi (krócej algebrami), zbiorami $A$ wyposażonymi w pewien zbiór $\mathrm{\Omega }$ operacji $n$-arnych nazywany sygnaturą. Każda struktura algebraiczna (grupoid, półgrupa, grupa, pierścień, ciało itd.) jest pewną algebrą uniwersalną.

Operacje n-arne w arytmetyce

• Elementy neutralne dodawania (zero) i mnożenia (jedynka) w zbiorach liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych lub zespolonych są operacjami 0-arnymi.
• Funkcja przyporządkowująca każdej liczbie całkowitej jej kwadrat jest operacją unarną na zbiorze $\mathbb{Z}.$ Podobnie pierwiastek kwadratowy jest operacją unarną na zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich ${ℝ}_{+}$ (ale nie na zbiorze liczb rzeczywistych, ani wymiernych, ani całkowitych) oraz na zbiorze liczb zespolonych $ℂ.$
• Element odwrotny jest operacją 1-arną na każdym ze zbiorów: ${\mathbb{Q}}^{*}=\mathbb{Q}\setminus \{0\},{ℝ}^{*}=ℝ\setminus \{0\},{\mathbb{Z}}^{*}=\mathbb{Z}\setminus \{0\}.$
• Działania dodawania, odejmowania i mnożenia są operacjami 2-arnymi na każdym ze zbiorów: $\mathbb{Q},ℝ,\mathbb{Z}.$ Dzielenie jest operacją 2-arną na każdym ze zbiorów: ${\mathbb{Q}}^{*},{ℝ}^{*},{\mathbb{Z}}^{*}.$

Operacje n-arne w algebrze

• Półgrupa jest zbiorem z operacją 2-arną łączną.
• Monoid jest półgrupą z elementem neutralnym, który jest operacją 0-arną.
• Grupa jest zbiorem, w którym można wyróżnić operację 2-arną (działanie grupy), operację 1-arną (element odwrotny działania) i operację 0-arną (element neutralny). Są także inne sposoby określania grupy. Wystarczy określić na zbiorze jedną operację 2-arną – dzielenie (jeśli grupa jest multiplikatywna, czyli jej działanie jest mnożeniem).
• Grupę $G$ można rozpatrywać jako zbiór $G$ ze zbiorem operacji 1-arnych

$\{l_g:G\to G:{\mathrm{\forall }}_{h\in G}{l}_g(h)=gh\},$ gdzie $g\in G.$

• Pierścień jest zbiorem, w którym można wyróżnić dwie operacje 2-arne (dodawanie i mnożenie), jedną operację 1-arną (element przeciwny) i operację 0-arną (zero). W pierścieniu z jednością można wyróżnić drugą operację 0-arną – jedynkę. O mnożeniu zakłada się co najmniej, że jest łączne i rozdzielne względem dodawania.
• Ciało $K$ jest zbiorem, na którym określone są dwie operacje 2-arne (dodawanie i mnożenie), operacja 1-arna (element przeciwny), dwie operacje 0-arne (0 i 1). Ponadto na zbiorze $K^{*}$ określona jest operacja 1-arna (element odwrotny).

Operacje n-arne w geometrii

• Iloczyn mieszany trzech wektorów w przestrzeni 3-wymiarowej jest operacją 3-arną na zbiorze wszystkich wektorów tej przestrzeni.

Mnożenie n-arne macierzy n-wskaźnikowych

Macierz $n$-wskaźnikowa $A$ zawiera $n$ wskaźników przebiegających $m$ wartości. Taka macierz zawiera $m^n$ elementów macierzowych o wartościach zespolonych,

$a_{k_1,\dots ,k_n}.$

Mnożenie (iloczyn) macierzy $n$-wskaźnikowych zdefiniowane jest jako $n$-arne działanie wewnętrzne dla dokładnie $n$ macierzy, z których każda ma $n$ wskaźników przebiegających $m$ wartości. Każda macierz zawiera $m^n$ wartości. Wynikiem jest również macierz $n$-wskaźnikowa.

Jeżeli $B=A^{(1)}{A}^{(2)},\dots ,A^{(n-1)}{A}^{(n)},$ a $b_{k_1,k_2,\dots ,k_n}$ oznacza element $B$ na pozycji $(k_1,k_2,\dots ,k_n),$ to

$b_{k_1,\dots ,k_n}=\sum _{l_1,\dots ,l_{n-1}=1}^m{a}_{k_1,l_1\dots ,l_{n-1}}^{(1)}*a_{l_{n-1},k_2,l_1\dots ,l_{n-2}}^{(2)}*\dots *a_{l_2,\dots ,k_{n-1},l_1}^{(n-1)}*a_{l_1,l_2,\dots ,k_n}^{(n)}$

dla każdego wskaźnika $k_i,l_j,$ dla których $1⩽k_i⩽m$ oraz $1⩽l_j⩽m.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę