Funkcje minimum i maksimum

Funkcje minimum i maksimum – funkcje przypisujące zbiorowi częściowo uporządkowanemu jego odpowiednio element najmniejszy i największy (o ile takie elementy istnieją). Często w zastosowaniach praktycznych rozważany zbiór ma skończenie wiele elementów (np. tylko dwa).

Zbiory liczbowe

Minimum i maksimum formalnie są funkcjami przypisującymi parze liczb rzeczywistych $ℝ$ odpowiednio mniejszą (w przypadku minimum) i większą (w przypadku maksimum) z tych liczb. Dokładniej, dla $x,y\in ℝ$ funkcje te dane są wzorami:

$\min (x,y)=\{\begin{array}{cc}y,& \text{gdy }x⩾y\\ x,& \text{gdy }y⩾x\end{array},$

$\max (x,y)=\{\begin{array}{cc}x,& \text{gdy }x⩾y\\ y,& \text{gdy }y⩾x\end{array}.$

Funkcje minimum i maksimum można zapisać jawnymi wzorami:

$\min (x,y)=\frac{x+y-|x-y|}{2},$Szablon:Odn

$\max (x,y)=\frac{x+y+|x-y|}{2}.$Szablon:Odn

Odwrotnie, wartość bezwzględną można wyrazić za pomocą funkcji maksimumSzablon:Odn i minimum:

$|x|=\max (-x,x)=-\min (-x,x).$

Ponadto

$\max (x,y)=x+y-\min (x,y),$

$\min (x,y)=x+y-\max (x,y).$

Definicję te można łatwo uogólnić na funkcje skończenie wielu argumentów. Wystarczy zauważyć, że

$\max (x,y,z)=\max (\max (x,y),z)=\max (x,\max (y,z)).$

W ten sposób można zdefiniować rekurencyjnie np.

$\max (x,y,z)=\max (\max (x,y),z),$

$\max (x,y,z,u)=\max (\max (x,y,z),u)=\max (\max (x,y),\max (z,u))$ itp.

Podobnie ma się rzecz z funkcją $\min .$ Przypadek zbiorów nieskończonych omówiony jest niżej.

W gruncie rzeczy porządek argumentów nie jest istotny, z tego względu funkcje $\max ,\min$ definiuje się jako funkcje zbiorów, skracając ich zapis przez pominięcie nawiasów:

$\max A,\min \{1,3,6\}.$

Definicja ogólna

Dla dowolnego zbioru $P$ z danym częściowym porządkiem minimum i maksimum można zdefiniować jako odpowiednio element najmniejszy lub największy:

$\min (P)=x\iff x\in P\wedge {\mathrm{\forall }}_{p\in P}x⩽p,$

$\max (P)=x\iff x\in P\wedge {\mathrm{\forall }}_{p\in P}x⩾p.$

Dla skończonych zbiorów, jeśli porządek jest liniowy, minimum i maksimum zawsze istnieje. Dla zbiorów nieskończonych już tak nie jest. Np. odcinki (przedziały) obustronnie otwarte $(a,b)$ nie mają ani maksimum ani minimum.

Dla skończonego zbioru zachodzi ponadto:

$\min (P)=\inf (P),$

$\max (P)=\sup (P).$

czyli minimum pokrywa się z kresem dolnym zbioru, a maksimum z kresem górnym zbioru. Nie zawsze jest to prawda dla zbiorów nieskończonych, gdzie niekiedy istnieje kres dolny, jednak nie istnieje minimum lub też istnieje kres górny, a nie istnieje maksimum.

Minimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem dolnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu $p$ dla $p\to -\mathrm{\infty }.$

Maksimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem górnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu $p$ dla $p$ dla $p\to +\mathrm{\infty }.$

Działania

Można też traktować minimum i maksimum jako dwa działania algebraiczne. Każde z nich jest wewnętrzne, łączne i przemienne, nie posiada jednak elementu odwrotnego, a często także elementu neutralnego, więc tworzy półgrupę przemienną. Niekiedy istnieje element neutralny – jest to dla minimum największy element dziedziny, a dla maksimum jej najmniejszy element.

Niektóre języki programowania stosują do minimum i maksimum składnię funkcji (np. C, Java), a niektóre składnię operatora działania (np. SAS 4GL).

Zobacz też

• Arg max
• ekstremum
• kres dolny i górny

Bibliografia

• Szablon:Cytuj