Funkcja tworząca momenty silni

Funkcja tworząca momenty silni – dla danego rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej $X$ o wartościach rzeczywistych funkcja zdefiniowana wzorem

$M_X(t)=\mathrm{E}\left[t^X\right]$

dla wszystkich liczb zespolonych $t,$ dla których ta wartość oczekiwana istnieje. Tak jest w przypadku co najmniej dla wszystkich $t$ na okręgu jednostkowym $|t|=1,$ patrz funkcja charakterystyczna. Jeśli $X$ jest dyskretną zmienną losową przyjmującą wartości jedynie ze zbioru {0,1, ...} nieujemnych liczb całkowitych, wtedy $M_X$ nazywana jest również funkcją tworzącą prawdopodobieństwa $X$ i $M_X(t)$ jest dobrze zdefiniowaną co najmniej dla wszystkich $t$ w zamkniętym jednostkowym dysku $|t|⩽1.$

Funkcja tworząca momenty silni tworzy momenty silni rozkładu prawdopodobieństwa. Pod warunkiem że $M_X$ istnieje w sąsiedztwie $t=1,$ $n$-ty moment silni jest dany przez

$\mathrm{E}[X^{\underset{\_}{n}}]={M_X}^{\underset{\_}{n}}(1)={\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{t}^n}|}_{t=1}{M}_X(t),$

gdzie $x^{\underset{\_}{n}}$ oznacza silnię dolną.

Przykład

Niech $X$ ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną λ. Wykorzystując definicję i własności funkcji wykładniczej otrzymuje się funkcję tworzącą momenty silni tej zmiennej,

$M_X(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{t}^k\underset{={\lambda }^k{e}^{-\lambda }/k!}{\underbrace{\mathrm{P}(X=k)}}=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(t\lambda {)}^k}{k!}=e^{\lambda (t-1)},t\in ℂ,$

skąd

$\mathrm{E}[X^{\underset{\_}{n}}]={\lambda }^n.$

Zobacz też

• funkcja tworząca momenty
• kumulanta
• moment