Całka Lebesgue’a-Stieltjesa

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa – uogólnienie całki Riemanna-Stieltjesa i całki Lebesgue’a, zachowujące wiele korzyści pierwszej z całek, a zarazem używające bardziej ogólnego języka teorii miary. Całka Lebesgue’a-Stieltjesa jest zwykłą całką Lebesgue’a w stosunku do miary znanej jako miara Lebesgue’a-Stieltjesa, która może być zdefiniowana dla dowolnej funkcji o wahaniu ograniczonym określonej na prostej rzeczywistej. Każda miara Lebesgue’a-Stieltjesa jest miarą regularną i odwrotnie, każda miara regularna na prostej rzeczywistej jest tej postaci.

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa, nazwana na cześć Henriego Leona Lebesgue’a i Thomasa Joannesa Stieltjesa, jest również znana jako całka Lebesgue’a-Radona lub po prostu całka Radona, od Johanna Radona, który wniósł istotny wkład w ich teorię. Znajdują powszechne zastosowanie w rachunku prawdopodobieństwa i procesach stochastycznych, a także w niektórych gałęziach analizy matematycznej, w tym w teorii potencjału.

Definicja

\int_{a}^{b} f (x) d g (x)

jest określona, gdy $f : [a, b] \to ℝ$ jest mierzalna względem miary borelowskiej i ograniczona, a $g : [a, b] \to ℝ$ ma wahanie ograniczone na przedziale $[a, b]$ i jest funkcją prawostronnie ciągłą lub gdy $f$ jest nieujemne, $g$ jest monotoniczna i prawostronnie ciągła. Na początek załóżmy, że $f$ jest nieujemne, a $g$ jest niemalejąca i prawostronnie ciągła. Zdefiniujmy $w ((s, t]) = g (t) - g (s)$ oraz $w ({t}) = 0 .$ Alternatywnie dla funkcji $g$ lewostronnie ciągłej definiujemy $w ([s, t)) = g (t) - g (s)$ oraz $w ({t}) = 0 .$

Na mocy twierdzenia Carathéodory’ego o rozszerzaniu miary istnieje jednoznacznie określona miara $μ_{g}$ na borelowskich podzbiorach $[a, b],$ która jest zgodna z $w$ na każdym przedziale. Miara $μ_{g}$ pochodzi od miary zewnętrznej danej wzorem:

μ_{g} (E) = \inf {\sum_{i} μ_{g} (I_{i}) : E \subseteq ⋃_{i} I_{i}},

gdzie infimum jest brane po wszystkich pokryciach zbioru $E$ przeliczalnie wieloma przedziałami otwartymi. Miara ta jest czasami nazywana miarą Lebesgue’a-Stieltjesa związaną z $g$ Szablon:Odn.

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa

\int_{a}^{b} f (x) d g (x)

jest definiowana jako całka Lebesgue’a funkcji $f$ względem miary $μ_{g}$ w zwykły sposób. Jeśli $g$ jest funkcją nierosnącą, to definiujemy

\int_{a}^{b} f (x) d g (x) = - \int_{a}^{b} f (x) d (- g) (x) .

Całka po prawej stronie równania jest względem funkcji niemalejącej i już została zdefiniowana wcześniej.

Jeśli $g$ ma wahanie ograniczone i $f$ jest ograniczona, to można przedstawić $g$ w postaci różnicy dwóch funkcji niemalejących $g_{1}, g_{2}$ i wtedy

d g (x) = d g_{1} (x) - d g_{2} (x) .

Teraz całka Lebesgue’a-Stieltjesa względem $g$ jest zdefiniowana wzorem

\int_{a}^{b} f (x) d g (x) = \int_{a}^{b} f (x) d g_{1} (x) - \int_{a}^{b} f (x) d g_{2} (x),

gdzie dwie ostatnie całki zostały już zdefiniowane^[1].

Całka Daniella

Alternatywne podejście polega na zdefiniowaniu całki Lebesgue’a-Stieltjesa jako całki Daniella, która uogólnia zwykłą całkę Riemanna-Stieltjesa. Niech $g$ będzie niemalejącą prawostronnie ciągłą funkcją na $[a, b]$ i zdefiniujmy całkę Riemanna-Stieltjesa $I (f)$ jako

I (f) = \int_{a}^{b} f (x) d g (x)

dla wszystkich funkcji ciągłych $f : [a, b] \to ℝ .$ Funkcjonał $I$ definiuje miarę Radona na $[a, b] .$ Funkcjonał ten można następnie rozszerzyć na klasę wszystkich funkcji nieujemnych, ustalając

\begin{matrix} \overline{I} (h) & = \sup {I (f) : f \in C [a, b], 0 ⩽ f ⩽ h} \\ \overline{\overline{I}} (h) & = \inf {I (f) : f \in C [a, b], h ⩽ f} . \end{matrix}

Dla funkcji borelowsko mierzalnych mamy

\overline{I} (h) = \overline{\overline{I}} (h),

a każda strona tożsamości definiuje całkę Lebesgue’a-Stieltjesa z $h .$ Miarę zewnętrzną $μ_{g}$ definiuje się wzorem

μ_{g} (A) = \overline{\overline{I}} (χ_{A})

gdzie $χ_{A}$ jest funkcją charakterystyczną zbioru $A .$

W przypadku całkowania względem funkcji o wahaniu ograniczonym, podobnie jak wcześniej rozkładamy ją na różnicę dwóch funkcji niemalejących.

Przykład

Załóżmy, że $γ : [a, b] \to ℝ^{2}$ jest krzywą prostowalną na płaszczyźnie i $ρ : ℝ^{2} \to [0, \infty)$ jest borelowsko mierzalna. Następnie możemy zdefiniować długość krzywej $γ$ względem metryki euklidesowej pomnożonej przez $ρ .$ Wyraża się to wzorem:

\int_{a}^{b} ρ (γ (t)) d ℓ (t),

gdzie $ℓ (t)$ jest długością krzywej $γ$ ograniczonej do przedziału $[a, t]$ w standardowej metryce euklidesowej. Taka całka jest nazywana $ρ$ -długością krzywej $γ .$ Pojęcie to jest bardzo przydatne w różnych zastosowaniach. Rozważmy na przykład błotnisty teren, na którym prędkość, z jaką człowiek może się poruszać, zależy od położenia. Gdyby $ρ (z)$ oznaczało odwrotność tej prędkości w punkcie $z,$ to $ρ$ -długość jest czasem potrzebnym na przejście wzdłuż krzywej $γ .$ Można to wykorzystywać w zagadnieniach wariacyjnych znajdowania drogi o najkrótszym czasie.

Całkowanie przez części

Funkcję $f$ będziemy nazywali regularną w punkcie $a,$ jeśli granice prawo- i lewostronna $f (a^{+})$ i $f (a^{-})$ istnieją, a do tego funkcja w $a$ przyjmuje wartość równą ich średniej arytmetycznej:

f (a) = \frac{f (a^{-}) + f (a^{+})}{2} .

Dla danych dwóch funkcji $u$ i $v$ o wahaniu skończonym, jeśli w każdym punkcie przynajmniej jedna z nich jest ciągła lub też obie są regularne, to zachodzi wzór na całkowanie przez części dla całki Lebesgue’a-Stieltjesa^[2]:

\int_{a}^{b} u d v + \int_{a}^{b} v d u = u (b^{+}) v (b^{+}) - u (a^{-}) v (a^{-}), - \infty < a < b < \infty .

Tutaj odpowiednie miary Lebesgue’a-Stieltjesa są powiązane z prawostronnie ciągłymi modyfikacjami funkcji $u$ i $v,$ czyli takimi, że $\tilde{u} (x) = \lim_{t \to x +} u (t)$ i podobnie $\tilde{u} (x) .$ Ograniczony przedział $(a, b)$ można zastąpić przedziałem nieograniczonym $(- \infty, b), (a, \infty)$ lub $(- \infty, \infty)$ pod warunkiem, że $u$ i $v$ mają wahanie ograniczone na tych przedziałach. Można również stosować ten wzór w stosunku do funkcji o wartościach zespolonych.

Inny ważny wynik, mający istotne znaczenie w analizie stochastycznej, jest następujący: niech $u, v$ będą funkcjami o wahaniu ograniczonych, które są prawostronnie ciągłe i mają lewostronne granice (tzw. funkcje càdlàg), wówczas

u (t) v (t) = u (0) v (0) + \int_{(0, t]} u (s^{-}) d v (s) + \int_{(0, t]} v (s^{-}) d u (s) + \sum_{x \in (0, t]} Δ u_{x} Δ v_{x},

gdzie $Δ u_{x} = u (x) - u (x^{-}) .$ Wynik ten może być postrzegany jako początek do wyprowadzenia wzoru Itô i ma zastosowanie w ogólnej teorii całkowania procesów stochastycznych. Ostatnim człon to w istocie $Δ u (x) v (x) = d ⟨ u, v ⟩,$ co wynika z definicji kowariancji kwadratowej $u$ i $v .$

Pojęcia pokrewne