Pierwiastkowanie

Pierwiastkowanie – operacja odwrotna względem potęgowania, zdefiniowana m.in. dla liczb rzeczywistych i zespolonych. Przy tym dla liczb rzeczywistych wprowadza się dwa pojęcia: pierwiastka arytmetycznego i pierwiastka algebraicznego.

Pierwiastki pojawiają się np. w definicji średniej geometrycznej, w pierwiastkowym kryterium Cauchy’ego na zbieżność szeregu liczbowego albo w definicji odległości Minkowskiego.

Pierwiastki zespolone z jedynki odgrywają istotną rolę w matematyce wyższej. Duża część teorii Galois skupia się na wskazaniu, które z liczb algebraicznych można przedstawić za pomocą pierwiastków, co prowadzi do twierdzenia Abela-Ruffiniego mówiącego, iż ogólny wielomian stopnia piątego bądź wyższego nie może być rozwiązany za pomocą tzw. pierwiastników, tzn. wyrażeń połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz pierwiastków.

Pierwiastek rzeczywisty arytmetyczny

Pierwiastki arytmetyczne definiuje się dla liczb rzeczywistych i w taki sposób, by przypisać liczbom rzeczywistym pierwiastki w sposób wzajemnie jednoznaczny, tj. każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden pierwiastek stopnia $n$-tego, przy czym nie istnieją pierwiastki arytmetyczne dla liczb ujemnych stopnia parzystego, np. pierwiastek drugiego stopnia z -1. Natomiast w dziedzinie liczb zespolonych pierwiastek $n$-tego stopnia z liczby -1 istnieje i ma $n$ wartości (por. dalej); w tym przypadku liczba -1 jest traktowana jako liczba zespolona o zerowej części urojonej. Także definiuje się tzw. pierwiastek algebraiczny w dziedzinie liczb rzeczywistych, który może mieć dwie wartości dla tej samej liczby.

Liczby rzeczywiste nieujemne

Wykres funkcji pierwiastka arytmetycznego kwadratowego $y=\sqrt{x}$ – funkcja ta jest zdefiniowana jednoznacznie dla liczb nieujemnych i przypisuje pierwiastkowi wartość nieujemną.

Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia

$n=1,2,3,4\dots$

z liczby rzeczywistej nieujemnej

$x(x\ge 0)$

nazywamy taką liczbę rzeczywistą nieujemną

$y(y\ge 0)$

, która podniesiona do potęgi

$n$

daje liczbę

$x$

, tj.

$y^n=x$

i zapisuje się w postaci

$y=\sqrt[n]{x}$

W ten sposób każdej nieujemnej liczbie rzeczywistej przypisana zostaje jedna nieujemna liczba rzeczywista, będąca jej pierwiastkiem arytmetycznym.

Liczbę $x$ nazywamy liczbą podpierwiastkową.

Z definicji wynika, że pierwiastek stopnia $n$ z liczby $x$ jest pierwiastkiem równania $y^n-x=0$ zmiennej $y$ przy ustalonej wartości $x$.

Np. $\sqrt[4]{16}=2$ – pierwiastek arytmetyczny czwartego stopnia z $16$, gdyż $2^4=16.$

Uwaga: Jeżeli liczbę 16 będziemy traktować jako liczbę zespoloną (o zerowej części urojonej), to otrzymamy cztery pierwiastki $\sqrt[4]{16}=2,-2,2i,-2i$ (por. dalej – pierwiastki zespolone).

Liczby rzeczywiste ujemne i pierwiastek stopnia nieparzystego

Wykres funkcji sześciennej $y=\sqrt[3]{x}$. Funkcja ta jest rosnąca w całym przedziale liczb rzeczywistych, dlatego każdej liczbie rzeczywistej $x$ odpowiada dokładnie jedna liczba $y=\sqrt[3]{x}$ będąca jej pierwiastkiem sześciennym. W szczególności pierwiastki z liczb ujemnych są liczbami ujemnymi.

Dla liczb rzeczywistych ujemnych $x<0$ pierwiastek stopnia nieparzystego $n$ definiuje się wzorem

$y=-\sqrt[n]{|x|}$

gdzie $|x|$ - wartość bezwzględna liczby $x$

Np.$\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}=-2,$ $\sqrt[5]{-2}=-\sqrt[5]{2}=-1,148698354\dots$

Dla nieparzystych $n$ każda liczba rzeczywista ma w ten sposób zdefiniowany pierwiastek rzeczywisty n-tego stopnia.

Nie istnieje zaś rzeczywisty pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej, np. $\sqrt[4]{-8}.$ Jednak w dziedzinie liczb zespolonych $\sqrt[4]{-8}$ ma aż cztery różne wartości (por. dalej - pierwiastki zespolone).

Symbole pierwiastka arytmetycznego

Pierwiastki zapisuje się zwykle za pomocą symbolu $\sqrt{{}^{{}^{}}}$ (zob. niżej), pierwiastkom stopnia drugiego, trzeciego, czwartego itd. z liczby $x$ odpowiadają kolejno symbole $\sqrt{x},\sqrt[3]{x},\sqrt[4]{x}$ itp. (zwyczajowo pomija się w zapisie stopień pierwiastka kwadratowego). Notacja ta nie budzi zastrzeżeń w stosunku do pierwiastków arytmetycznych, niemniej może prowadzić do sprzeczności w przypadku pierwiastków algebraicznych, dla których symbole te nie są jednoznaczne, gdyż istnieje wiele pierwiastków algebraicznych danej liczby (por. niżej).

Pierwiastek kwadratowy, sześcienny i inne

Dla $n=2$ pierwiastek arytmetyczny nazywa się pierwiastkiem kwadratowym i oznacza $\sqrt{x}$,  pomijając cyfrę 2, zaś dla $n=3$ nazywa się pierwiastkiem sześciennym i oznacza $\sqrt[3]{x}$; pierwiastki wyższych stopni nazywa się wyłącznie liczbowo, np. „pierwiastek czwartego stopnia”.

Pierwiastkowanie jako potęgowanie o ułamkowym wykładniku

Obliczanie pierwiastka $n$-tego stopnia jest operacją odwrotną do potęgowania, dlatego pierwiastkowanie można zapisywać jako potęgowanie o wykładniku ułamkowym, tj.

$\sqrt[n]{x}\equiv x^{1/n}.$

Dowód:

Korzystając z twierdzenia o potędze $(x^a{)}^b=x^{a\cdot b}$ potęgi mamy:

$(x^{1/n}{)}^n=x^{\frac{1}{n}\cdot n}=x^1=x$

Z drugiej strony, z definicji pierwiastka wynika, że $n$-ta potęga pierwiastka $n$-tego stopnia musi dać liczbę podpierwiastkową $x,$ tj.

$(\sqrt[n]{x}{)}^n=x$

Porównując obie równości dostajemy dowodzony wzór.

Twierdzenia - pierwiastki rzeczywiste

Krzywe wybranych pierwiastków i potęg dla $x\in [0,1]$. Przekątna równania $y=x$ jest osią symetrii między każdą krzywą funkcji pierwiastkowej a krzywą jej funkcji odwrotnej.

Jeżeli $x,y$ są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, zaś $n,m$ są dodatnimi liczbami całkowitymi, to:

• $\sqrt[n]{xy}=\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$
• $\sqrt[n]{x/y}=\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$ dla $y\ne 0$
• $\sqrt[n]{x^m}={\left(\sqrt[n]{x}\right)}^m$
• $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}=\sqrt[m\cdot n]{x}$

• gdy $x<y$ to $\sqrt[n]{x}<\sqrt[n]{y}$
• Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest albo liczbą naturalną, albo niewymierną; np. dla liczby naturalnej 2:

$\sqrt{2}=1,414213562\dots$

• Im większy stopień pierwiastka z liczby mniejszej od $1$, tym większa jest jego wartość, która zmierza do 1 wraz ze wzrostem stopnia pierwiastka, np. $\sqrt[2]{0.4}\approx 0.6<\sqrt[5]{0.4}\approx 0.8<\sqrt[100]{0.4}\approx 0.99$
• Im większy stopień pierwiastka z liczby wiekszej od $1$, tym mniejsza jest jego wartość, która zmierza do $1$ wraz ze wzrostem stopnia pierwiastka, np. $\sqrt{2}\approx 1,4>\sqrt[3]{2}\approx 1,3>\sqrt[100]{2}\approx 1,007$

• Pierwiastki stopni całkowitych z liczb niewymiernych są niewymierne, bo liczba wymierna podniesiona do potęgi o dowolnym wykładniku całkowitym daje liczbę wymierną.

Pierwiastek rzeczywisty algebraiczny

Pierwiastkiem algebraicznym stopnia $n$ (gdzie $n=1,2,\dots$) z liczby rzeczywistej $x$ nazywamy taką liczbę rzeczywistą $y$ (dodatnią lub ujemną lub równą zero), która podniesiona do potęgi $n$ daje liczbę $x$, tj.

$y^n=x$

Pierwiastek algebraiczny z liczb rzeczywistych ujemnych stopnia parzystego nie istnieje, podobnie jak pierwiastek arytmetyczny stopnia parzystego, np. pierwiastek kwadratowy z $-8$. Ale istnieje pierwiastek algebraiczny dla dowolnych liczb rzeczywistych stopnia nieparzystego i ma zawsze jedną wartość, np. pierwiastek 3-go stopnia z $-8$ wynosi $-2$. Zaś dla liczb rzeczywistych dodatnich istnieją zawsze dwa pierwiastki algebraiczne stopnia parzystego. Np. dla liczby $4$ istnieją dwie takie liczby: $2$ oraz $-2$, gdyż $2^2=4$ oraz $(-2{)}^2=4$ – obie te liczby nazywamy pierwiastkami kwadratowymi algebraicznymi z liczby $4$.

Operacja znajdowania pierwiastka algebraicznego w dziedzinie liczb rzeczywistych przypisuje więc danej liczbie jedną wartość lub dwie wartości, inaczej niż dla pierwiastka arytmetycznego, który przyjmuje zawsze jedną wartość (oraz - tak jak w przypadku pierwiastka arytmetycznego - wyklucza przypisywanie pierwiastków stopnia parzystego liczbom ujemnym).

Pierwiastek zespolony

Df. Pierwiastkiem zespolonym stopnia $n=1,2,3,4\dots$ z liczby zespolonej $z$ nazywa się dowolną liczbę $w$ spełniającą równość

$w^n=z$

Każda niezerowa liczba zespolona $z$ (w tym liczba rzeczywista, tj. zespolona o zerowej części urojonej) ma $n$ różnych zespolonych pierwiastków $n$-tego stopnia.

Tw. Aby wyznaczyć pierwiastki zespolone liczby zespolonej $z=a+ib$, przedstawia się ją w postaci trygonometrycznej:

$z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )$

gdzie:

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ - moduł

$\varphi =\arctan (b/a)\in (-\pi ,\pi >$ - argument główny

Wtedy pierwiastki $n$-go stopnia określa wzór de Moivre’a:

$w_{(k)}=\sqrt[n]{|z|}(\cos \frac{\varphi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +2k\pi }{n}),$

gdzie $k=0,1,2,\dots ,n-1$ oznacza numer pierwiastka (symbol $\sqrt[n]{}$ oznacza tu pierwiastek arytmetyczny).

Pierwiastki 3-go stopnia z liczby $1+i$ na płaszczyźnie zespolonej tworzą wierzchołki trójkąta foremnego.

Interpretacja geometryczna: W interpretacji geometrycznej punkty przedstawiające pierwiastki stopnia $n$ liczby zespolonej tworzą wierzchołki $n$-kąta foremnego mającego środek w początku układu współrzędnych, wpisanego w okrąg o promieniu $\sqrt[n]{|z|},$ przy czym wektor wodzący wierzchołka o indeksie 0 jest pod kątem $\varphi /n$ do osi rzeczywistej układu współrzędnych. Ilustrują to przykłady.

Przykłady

Przykład 1: Pierwiastek kwadratowy z $z=i$

Dwa pierwiastki zespolone 2-go stopnia dla $z=i$

Niech będzie dana liczba czysto urojona $z=i.$ Liczba ta ma zerową część rzeczywistą, tj. $z=0+1\cdot i$. Mamy więc moduł $|z|=1$, argument główny $\varphi =\pi /2$, stąd postać trygonometryczna $z=i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}.$

Z wzoru Moivre'a mamy pierwiastki 2-go stopnia z $z=i$

$w_0=\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}$

$w_1=\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}$

Pierwiastki te są leżą po przeciwnych stronach początku układu współrzędnych.

Przykład 2: Pierwiastki 2-go stopnia z -1

Niech będzie dana liczba $z=-1.$ W dziedzinie liczb rzeczywistych nie istnieje pierwiastek algebraiczny z liczby ujemnej stopnia parzystego. Jednak w dziedzinie liczb zespolonych liczba -1 jest liczbą o zerowej części urojonej i ma de facto postać $z=-1+0\cdot i$. Mamy więc moduł $|z|=1$, argument główny $\varphi =\pi$, stąd postać trygonometryczna $z=-1=\cos \pi +i\sin \pi .$

Z wzoru Moivre'a mamy pierwiastki 2-go stopnia z $z=-1$

$w_0=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}=i$

$w_1=\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}=-i$

W dziedzinie zespolonej istnieją wiec dwa pierwiastki kwadratowe z $z=-1:+i,-i.$ (Każda liczba zespolona jest punktem na płaszczyźnie, w tym -1, sytuacja jest więc inna, niż w przypadku obliczania pierwiastków w dziedzinie rzeczywistej, gdzie liczby są punktami na prostej).

Trzy pierwiastki zespolone 3-go stopnia dla $z=-1$

Przykład 3: Pierwiastki 3-go stopnia z -1

Aby obliczyć pierwiastki 3-go stopnia korzystamy z postaci trygonometrycznej $z=-1=\cos \pi +i\sin \pi$ oraz wzoru Moivre'a:

$w_0=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$w_1=\cos \frac{3\pi }{3}+i\sin \frac{3\pi }{3}=-1$

$w_2=\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Przykłady powyższe ilustrują ogólna prawidłowość, iż każda liczba zespolona $z$ ma $n$ pierwiastków $n$-tego stopnia - w tym liczby zespolone czysto rzeczywiste, które nie mają pierwiastków algebraicznych w dziedzinie liczb rzeczywistych.

Twierdzenia - pierwiastki zespolone. Subtelność funkcji wielowartościowych

W dziedzinie pierwiastków zespolonych obowiązują te same twierdzenia, co w dziedzinie liczb rzeczywistych, ale posługiwanie się nimi wymaga uwagi ze względu na wielowartościowość pierwiastków zespolonych. Np. zakładając słuszność twierdzenia $\sqrt[n]{z_1\cdot z_2}={\sqrt[n]{z}}_1{\sqrt[n]{z}}_2$ otrzymamy

$\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{-1\cdot -1}$

Ale

$\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=i\cdot i=i^2=-1$

zaś

$\sqrt{-1\cdot -1}=\sqrt{1}=1$

– czyli sprzeczność. Sprzeczność wynika stąd, że w obliczeniach nie uwzględniono faktu, iż pierwiastki kwadratowe z liczb $\sqrt{-1}$ oraz $\sqrt{1}$ w dziedzinie liczb zespolonych mają po dwie wartości:

$\sqrt{-1}=\{\begin{array}{c}+i\\ -i\end{array}$ oraz $\sqrt{1}=\{\begin{array}{c}+1\\ -1\end{array}$

Wtedy mamy:

$\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=\{\begin{array}{c}i\cdot i=-1\\ \text{lub}\\ i\cdot (-i)=1\end{array}$

czyli dostajemy dwa wyniki, identyczne jak dla pierwiastka z 1.

Historia

Początki symbolu pierwiastka √ są dość niejasne. Niektóre źródłaSzablon:Fakt podają, że symbol został wprowadzony przez Arabów, a po raz pierwszy został on użyty przez Abū al-Hasana ibn Alīego al-Qalasādīego (1421–1486) i został wyprowadzony z arabskiej litery ج, pierwszej litery słowa جذر (dżazr) oznaczającego „korzeń”. Wielu, w tym Leonhard Euler sądziło, że pochodzi on od litery r, pierwszej litery łacińskiego słowa radix (również oznaczającego „korzeń”), które oznacza to samo działanie matematyczne.

Nieużywany w języku polskim termin surd, traktowany niekiedy jako nazwa symbolu √, pochodzi z czasów al-Khwārizmīego (ok. 825), który liczby wymierne i niewymierne nazywał odpowiednio „słyszalnymi” i „niesłyszalnymi”. W związku z tym arabskie assam („głuchy, głupi”) oznaczające liczbę niewymierną było później tłumaczone na łacinę jako surdus („głuchoniemy”). Gerard z Cremony (ok. 1150), Fibonacci (1202), a potem Robert Recorde (1551) używali tego terminu w odniesieniu do nierozwiązanych pierwiastków niewymiernych.

Symbolu √ użyto po raz pierwszy w druku bez vinculum (poziomej kreski nad liczbami wewnątrz symbolu pierwiastka) w 1525 roku w Die Coss autorstwa niemieckiego matematyka Christoffa Rudolffa. Vinculum wprowadził Kartezjusz w Geometrii (1637) do zaznaczania, jakie wyrażenie algebraiczne podlega pierwiastkowaniu.

Stosowana przez Kartezjusza notacja dla pierwiastków stopnia wyższego niż dwa nie przyjęła się (np. $\sqrt[3]{x}$ Kartezjusz zapisywał jako $\sqrt{C.x}$). Współczesną notację stopnia pierwiastka zaproponował Albert Girard w pracy z 1629 roku; utrwaliła się ona w pierwszej połowie XVIII w.

Typografia

Niżej przedstawiono kody znaków symboli pierwiastka. W notacji angielskiej znak pierwiastka występuje bez wiążącej kreski górnej.

Znak	Nazwa polska	Nazwa unikodowa	Unikod	Encja HTML			URL
				dec	hex	name
Szablon:Unicode	pierwiastek kwadratowy	SQUARE ROOT	U+221A	√	√	√	%E2%88%9A
Szablon:Unicode	pierwiastek sześcienny	CUBE ROOT	U+221B	∛	∛	–	%E2%88%9B
Szablon:Unicode	pierwiastek czwartego stopnia	FOURTH ROOT	U+221C	∜	∜	–	%E2%88%9C
Szablon:Unicode	kreska wiążąca górna	OVERLINE	U+203E	‾	‾	‾	%E2%80%BE
Szablon:Unicode	kreska wiążąca górna dostawna	COMBINING OVERLINE	U+0305	̅	̅	–	%00%CC%85

W LaTeX-u:

• pierwiastek $\sqrt{x}$ zapisywany jest jako \sqrt x;
• pierwiastek $\sqrt[k]{x}$ zapisywany jest jako \sqrt[k] x.

Zobacz też

• pierwiastek kwadratowy
• pierwiastek sześcienny
• pierwiastki zespolone z jedynki
• wzór de Moivre'a
• algorytm Newtona numerycznego obliczania pierwiastka n-tego stopnia (dla liczby rzeczywistej)

Inne:

• Pomoc Wikipedii: Pierwiastki we wzorach matematycznych - nt. edycji wzorów za pomocą kodu

Bibliografia

• I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, PWN, Warszawa 2019, str. 578-579.
• T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974, str. 412-416.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta