Wielokąt foremny

Wielokąt foremny – wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości^[1].

Najmniejszą możliwą liczbą boków wielokąta foremnego jest 3. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt (dwubok) foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby 0°.

Trójkąt foremny jest określany jako trójkąt równoboczny, czworokąt foremny – jako kwadrat.

Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, który w 1801 odkrył, że $n$ -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą postaci $2^{k} p_{1} p_{2} \dots p_{s},$ gdzie $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{s}$ są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzenie to jest dziś znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela.

Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.

Wzory

Przyjęte oznaczenia:

n

– liczba boków wielokąta foremnego,

a

– długość jednego boku wielokąta.

Wzór na miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:

γ = \frac{π (n - 2)}{n} r a d = \frac{18 0^{\circ} \cdot (n - 2)}{n} .

Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):

β = \frac{2 π}{n} r a d = \frac{36 0^{\circ}}{n} .

Wzór na promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym:

R = \frac{a}{2 \sin \frac{π}{n}} = \frac{a}{2} cosec \frac{π}{n} .

Wzór na promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny:

r = \frac{a}{2 tg \frac{π}{n}} = \frac{a}{2} ctg \frac{π}{n} .

Wzory na długość boku wielokąta foremnego:

\begin{matrix} a & = 2 \sqrt{R^{2} - r^{2}} \\ = 2 R \sin \frac{π}{n} \\ = 2 r tg \frac{π}{n} . \end{matrix}

Wzór na obwód wielokąta foremnego:

L = n \cdot a .

Wzory na pole powierzchni wielokąta foremnego:

\begin{matrix} S & = \frac{1}{4} n a^{2} ctg \frac{π}{n} \\ = \frac{n a r}{2} \\ = n r^{2} tg \frac{π}{n} \\ = n R^{2} \sin \frac{π}{n} \cos \frac{π}{n} \\ = \frac{1}{2} n R^{2} \sin \frac{2 π}{n} . \end{matrix}

Wzór na długości przekątnych wielokąta foremnego:

d_{k} = \frac{a \sin \frac{(k + 1) π}{n}}{\sin \frac{π}{n}},

gdzie

k \in ℕ, 1 ⩽ k ⩽ n - 3 .

Kąt między dowolnymi sąsiednimi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka (włącznie z bokami wychodzącymi z tego wierzchołka)

γ = \frac{π}{n} r a d = \frac{18 0^{\circ}}{n} .

Tabela wielokątów foremnych

Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.

Nazwa	Liczba boków	Miara kąta wewnętrznego	Konstruowalny cyrklem i linijką?
Trójkąt równoboczny	3	$6 0^{\circ}$	Szablon:Tak
Kwadrat	4	$9 0^{\circ}$	Szablon:Tak
Pięciokąt foremny	5	$10 8^{\circ}$	Szablon:Tak
Sześciokąt foremny	6	$12 0^{\circ}$	Szablon:Tak
Siedmiokąt foremny	7	${128 \frac{4}{7}}^{\circ}$	Szablon:Nie
Ośmiokąt foremny	8	$13 5^{\circ}$	Szablon:Tak
Dziewięciokąt foremny	9	$14 0^{\circ}$	Szablon:Nie
Dziesięciokąt foremny	10	$14 4^{\circ}$	Szablon:Tak