Wzór Picka

Dla wielokąta na rysunku:
$W=39,B=14,$
ze wzoru Picka pole wielokąta jest równe: $P=39+7-1=45.$

Wzór Picka – wzór na obliczanie pola powierzchni wielokąta prostego, którego wierzchołki są punktami kratowymi na płaszczyźnie. Zgodnie z tym wzorem pole wielokąta jest równe: $P=W+\frac{1}{2}B-1,$

gdzie $W$ oznacza liczbę punktów kratowych leżących wewnątrz wielokąta, a $B$ oznacza liczbę punktów kratowych leżących na brzegu wielokąta.

Powyższy wzór jest prawdziwy jedynie dla wielokątów prostych (złożonych z jednego kawałka i bez dziur).

Twierdzenie to zostało po raz pierwszy opisane przez Georga Alexandra Picka w 1899. Można je uogólnić na przestrzeń trzy i więcej wymiarową przez wielomiany Ehrharta. Wzór można też uogólnić na powierzchnie wielościanów.

Uogólnienie dla wielokątów złożonych z trójkątów pierwotnych

Trójkątem pierwotnym jest trójkąt, którego wierzchołki są punktami kratowymi i są to jedyne punkty kratowe. Ze wzoru Picka wynika, że ma on pole $\frac{1}{2}.$

Rozważmy wielokąt $R,$ który ma triangulację na trójkąty pierwotne. Oznaczmy przez $V$ liczbę wierzchołków w triangulacji, $K$ liczbę krawędzi triangulacji, $K_B$ liczbę krawędzi brzegowych triangulacji, a $S$ liczbę ścian triangulacji.

Zliczając krawędzie ścian triangulacji na dwa sposoby, otrzymujemy równość $3S=2K-K_B$

$\begin{array}{cc}S& =2K-K_B-2S+2V-2V\\ & =2V-K_B-2(V-K+S)\\ & =2W+B+(B-K_B)-2(V-K+S)\\ & =2W+B-2\chi (R)+\chi (\mathrm{b}\mathrm{d}R),\end{array}$

gdzie $\chi$ oznacza charakterystykę Eulera, a $\mathrm{b}\mathrm{d}R$ brzeg figury $R$

$P=\frac{1}{2}S=W+\frac{1}{2}B-\chi (R)+\frac{1}{2}\chi (\mathrm{b}\mathrm{d}R).$

Wzór ten jest prawidłowy w szczególności dla wielokątów prostych, ponieważ dla nich charakterystyka Eulera jest równa $1,$ a charakterystyka brzegu $0.$

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:Cytuj stronę
• Szablon:Otwarty dostęp Proving Pick's Theorem, kanał PBS Infinite Series na YouTube, 16 marca 2017 [dostęp 2024-08-29].