Baza Schaudera

Baza Schaudera – ciąg $(x_n)$ elementów przestrzeni Banacha $X$ o tej własności, że dla każdego elementu $x$ przestrzeni $X$ istnieje dokładnie jeden taki ciąg skalarów $(a_n),$ że

$x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}_n,$

przy czym powyższy szereg zbieżny jest w sensie normy przestrzeni $X$ (mocna zbieżność). Nie każda przestrzeń Banacha ma bazę Schaudera – Per Enflo podał przykład ośrodkowej przestrzeni Banacha, która nie ma bazy Schaudera. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska polskiego matematyka, Juliusza Schaudera, który podał konstrukcję bazy przestrzeni $C[0,1]$ funkcji ciągłych na przedziale jednostkowym.

Własności

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha z bazą Schaudera $(x_n{)}_{n=1,2,3,\dots }.$ Jeżeli $x={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}_n,$ to funkcjonał

$\Vert |x\Vert |=\sup \{\sum _{k=1}^n\Vert a_k{x}_k\Vert :n\in \mathbb{N}\}$

jest normą oraz $\Vert x\Vert ⩽|\Vert x|\Vert .$ Można udowodnić, że norma ta jest zupełna oraz, na mocy twierdzenia o odwzorowaniu otwartym, równoważna wyjściowej normie przestrzeni $X.$

Kryterium Grünbauma

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha. Ciąg $(x_n{)}_{n=1,2,3,\dots }$ punktów p. $X$ jest bazą Schaudera wtedy i tylko wtedy, gdy

1. $x_n\ne 0,n\in \mathbb{N},$
2. $\overline{\text{lin}}\{x_n:n\in \mathbb{N}\}=X,$
3. istnieje taka liczba $K>0,$ że dla każdego ciągu skalarów $(a_n{)}_{n=1,2,3,\dots }$ oraz dla każdych takich liczb naturalnych $n$ i $m,$ że $n<m$ spełniona jest nierówność

$\Vert \sum _{k=1}^n{a}_k{x}_k\Vert ⩽K\Vert \sum _{k=1}^m{a}_k{x}_k\Vert .$

Przykłady

• Ciąg $(e_n{)}_{n=1,2,3,\dots },$ gdzie $e_n(n)=1$ oraz $e_n(m)=0$ dla $m\ne n$ jest bazą Schaudera (nazywaną często bazą kanoniczną) dla przestrzeni c₀, ℓ_p oraz przestrzeni Jamesa $J_p$ przy $1⩽p<\mathrm{\infty }$ (przestrzeń $J_p$ jest izomorficzna z ${\ell }_p$ wtedy i tylko wtedy, gdy $p=1$). Ciąg $(e_n{)}_{n=0,1,2,\dots },$ gdzie $e_0=(1,1,1,\dots ),$ stanowi bazę Schaudera przestrzeni c.
• Jeżeli $X$ jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, to jej baza ortonormalna jest również jej bazą Schaudera.
• Twierdzenie Schaudera: układ Haara jest bazą Schaudera przestrzeni L_p dla $1⩽p<\mathrm{\infty }.$
• Twierdzenie Schaudera: układ Schaudera w przedziale $[a,b]$ stanowi bazę Schaudera przestrzeni $C[a,b].$

Rodzaje baz Schaudera

Bazy Schaudera mogą mieć dodatkowe własności, które w pewnym stopniu opisują geometrię rozważanej przestrzeni Banacha. Niech $(e_n)$ będzie bazą Schaudera przestrzeni Banacha $E.$ Baza ta jest nazywana

• ściągającą (ang. shrinking), gdy układ funkcjonałów $(e_n^{*})$ stowarzyszonych z tą bazą jest bazą Schaudera przestrzeni sprzężonej $E^{*};$
• ograniczenie zupełną (ang. boundedly complete), gdy dla każdego ciągu skalarów $(a_n),$ dla którego istnieje taka stała $M>0,$ iż $\Vert {\sum }_{k=1}^n{a}_n\Vert <M$ dla każdej liczby naturalnej $n$ szereg ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}_n$ jest zbieżny w $E;$
• bezwarunkową (ang. unconditional), gdy każdy szereg zbieżny ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}_n$ jest bezwarunkowo zbieżny.

Każda przestrzeń Banacha mająca bazę ograniczenie zupełną jest izomorficzna z przestrzenią sprzężoną pewnej przestrzeni Banacha. Przykładami baz bezwarunkowych są kanoniczne bazy $(e_n)$ przestrzeni $c_0$ i ${\ell }_p(1⩽p<\mathrm{\infty }).$ Jeżeli $K$ jest taką zwartą przestrzenią metryczną, że $C(K)$ nie jest izomorficzne z $c_0,$ to $C(K)$ nie ma bazy bezwarunkowej.

Każda przestrzeń Banacha z bazą Schaudera jest ośrodkowa, przy czym ośrodkiem jest zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów bazy Schaudera o współczynnikach wymiernych.

W.B. Johnson i H.P. Rosenthal udowodnili, że każda ośrodkowa przestrzeń Banacha $X$ zawiera taką podprzestrzeń $Y,$ że przestrzeń ilorazowa $X/Y$ ma bazę Schaudera.

Układy biortogonalne

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha z bazą Schaudera $(x_n).$ Dla każdej liczby naturalnej $n,$ funkcjonał liniowy $x_n^{*}$ określony wzorem

$⟨x_n^{*},\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}_n⟩=a_n$

jest ograniczony (ciągły). Dokładniej, funkcjonały $x_n^{*}$ spełniają warunek

$⟨x_n^{*},x_m⟩={\delta }_{nm}$

(zob. symbol Kroneckera). Ciąg funkcjonałów tej postaci, tzn. ciąg $(x_n^{*})$ nazywany jest ciągiem biortogonalnym (stowarzyszonym z bazą $(x_n)$). Układ $(x_n,x_n^{*})$ jest układem biortogonalnym w przestrzeni $X.$ Układy tego rodzaju znajdują szerokie zastosowanie głównie w teorii nieośrodkowych przestrzeni Banacha.

Bibliografia

• M.M. Day, Normed linear spaces, Springer-Verlag, 1962.
• Szablon:Cytuj
• J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989, s. 125–131.