Układ biortogonalny

Układ biortogonalny – dla przestrzeni unormowanej $X,$ indeksowany ciąg elementów $X\times X^{*}$ postaci $((x_t,x_t^{*}){)}_{t\in T}$ o tej własności, że $x_s^{*}{x}_t={\delta }_{st}$ (zob. symbol Kroneckera). Indeksowany ciąg $(x_t{)}_{t\in T}$ punktów p. $X$ nazywany jest minimalnym, jeżeli istnieje ciąg $(x_t^{*}{)}_{t\in T}$ punktów p. $X^{*}$ taki, że $((x_t,x_t^{*}){)}_{t\in T}$ jest układem biortogonalnym. Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha dla każdej przestrzeni unormowanej można podać przykład układu biortogonalnego. Dokładniej, ciąg $(x_t{)}_{t\in T}$ jest minimalny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $t\in T:$

$x_t\notin \text{cl lin}\{x_s:s\in T\setminus \{t\}\}.$

Definicję układu biortogonalnego można mutatis mutandis rozszerzyć na klasę przestrzeni liniowo-topologicznych o nietrywialnych przestrzeniach sprzężonych.

Istnienie układów biortogonalnych

• W każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha $X$ dla każdego $\epsilon >0$ istnieje taki przeliczalny układ biortogonalny $((x_n,x_n^{*}){)}_n,$ że wektory $x_n$ są liniowo gęste w $X,$ jeżeli $⟨x_n,x⟩=0$ dla każdego $n$ to $x=0$ oraz

$\Vert x_n^{*}\Vert \cdot \Vert x_n\Vert <1+\epsilon$

dla wszelkich $n$.

Bazy Markuszewicza

Niech $X$ będzie przestrzenią unormowaną. Układ biortogonalny $((x_t,x_t^{*}){)}_{t\in T}$ nazywany jest:

• fundamentalnym, jeżeli

$\text{cl lin}\{x_t:s\in T\}=X.$

• totalnym, jeżeli

${\text{cl}}_{w^{*}}\text{lin}\{x_t^{*}:s\in T\}=X^{*}$ (gdzie ${\text{cl}}_{w^{*}}$ oznacza operację domknięcia w sensie *-słabej topologii),

• bazą Markuszewicza (albo M-bazą) gdy jest fundamentalny i totalny,
• układem Auerbacha, jeżeli $\Vert x_t\Vert =\Vert x_t^{*}\Vert =1$ dla każdego $t\in T,$
• bazą Auerbacha, jeżeli jest bazą Markuszewicza i układem Auerbacha.

Nazwa pojęcia bazy Markuszewicza pochodzi od nazwiska rosyjskiego matematyka, Aleksieja Markuszewicza. Każda ośrodkowa przestrzeń Banacha ma M-bazę. Problem istnienia M-baz dla przestrzeni Banacha typu WCG jest ciągle otwarty. Prawdziwe jest natomiast następujące twierdzenie Auerbacha, że każda skończenie wymiarowa przestrzeń Banacha ma bazę Auerbacha.

Układy biortogonalne dużej mocy

Kenneth Kunen podał jako pierwszy, pod założeniem hipotezy continuum, przykład przestrzeni Banacha, której wszystkie układy biortogonalne są przeliczalne (Kunen nie opublikował swojego wyniku – pojawił się on w monografii). Kolejny przykład, pod założeniem diamentu Jensena, podał Saharon Szelach.

Bibliografia

• J. Vanderwerff, P. Hájek, S.V. Montesinos, V. Zizler, Biorthogonal Systems in Banach Spaces, Springer-Verlag GmbH, Nowy Jork 2007, Szablon:ISBN.