Rozkład macierzy

Do wielu zastosowań (zarówno numerycznych, jak i teoretycznych) warto przedstawić daną macierz w postaci iloczynu kilku macierzy o określonych własnościach. Niektóre z poniższych rozkładów uogólniają się na operatory liniowe.

Diagonalizacja

Diagonalizacja to przedstawienie macierzy $A$ w postaci diagonalnej, czyli

$A=PD{P}^{-1},$

gdzie:

$D$ – macierz diagonalna składająca się z wartości własnych,

$P$ – macierz odwracalna składająca się z wektorów własnych odpowiadających kolejnym wartościom własnym.

Diagonalizacja działa tylko dla niektórych macierzy kwadratowych (np. symetrycznych i hermitowskich).

Macierz, którą można zdiagonalizować nazywamy macierzą diagonalizowalną.

Rozkład Jordana

Szablon:Osobny artykuł Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy $A$ w postaci Jordana, czyli

$A=PD{P}^{-1},$

gdzie:

$D$ – macierz składająca się z klatek Jordana odpowiadającym kolejnym wartościom własnym,

$P$ – macierz odwracalna; zawiera jeden wektor własny dla każdej klatki Jordana.

Jeśli macierz $A$ jest diagonalizowalna, to jej postać Jordana jest równa postaci diagonalnej.

Rozkład wartości osobliwych

Szablon:Osobny artykuł Rozkład wartości osobliwych (nad $ℝ$) to przedstawienie macierzy $A$ w postaci

$A=U\mathrm{\Sigma }{V}^T,$

gdzie:

$\mathrm{\Sigma }$ – macierz diagonalna zawierająca kolejne wartości osobliwe,

$U$ i $V$ – macierze ortogonalne.

Rozkład wartości osobliwych macierzy symetrycznej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.

Jeśli mamy do czynienia z macierzą nad ciałem liczb zespolonych $ℂ,$ to

$A=U\mathrm{\Sigma }{V}^{*},$

gdzie:

$\mathrm{\Sigma }$ – macierz diagonalna zawierająca kolejne wartości osobliwe,

$U$ i $V$ – macierze unitarne.

Zaś rozkład wartości osobliwych macierzy hermitowskiej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.

Rozkład LU

Szablon:Osobny artykuł Rozkład LU to przedstawienie macierzy $A$ w postaci

$A=LU,$

gdzie:

$L$ – dolna macierz trójkątna,

$U$ – górna macierz trójkątna.

Rozkład Choleskiego

Szablon:Osobny artykuł Rozkład Choleskiego (nad $ℝ$) to przedstawienie dodatniej macierzy symetrycznej $A$ w postaci

$A=L{L}^T,$

gdzie:

$L$ – dolna macierz trójkątna.

Rozkład Choleskiego (nad $ℂ$) to przedstawienie dodatniej macierzy hermitowskiej $A$ w postaci

$A=L{L}^{*},$

gdzie:

$L$ – dolna macierz trójkątna.

Rozkład biegunowy

Szablon:Osobny artykuł Rozkład biegunowy to przedstawienie macierzy $A$ w postaci

$A=UR,$

gdzie:

$U$ – częściowa izometria,

$R$ – macierz dodatnio określona.

Zobacz też

• macierz transponowana
• sprzężenie hermitowskie