Filtracja (matematyka)

Szablon:Inne znaczenia Szablon:Spis treści Szablon:Definicja intuicyjna Filtracja – rodzina podstruktur (np. podzbiorów, podciągów, podgrup itp.) pewnej ustalonej struktury (zbioru, ciągu, grupy, itd.), indeksowana z wykorzystaniem uporządkowanego liniowo zbioru indeksów, w której podstruktury o dalszych (większych) indeksach zawierają te o wcześniejszych (mniejszych).

Ścisła definicja zależy od kontekstu i dziedziny matematyki, w której pojęcie to jest rozważane; zawsze jednak podstruktury tworzą łańcuch. Pojęcie filtracji znajduje zastosowanie między innymi w teorii miary i teorii prawdopodobieństwa oraz w algebrze (topologii algebraicznej).

Niekiedy rozszerza się pojęcie filtracji na filtracje nierosnące, o odwrotnym kierunku, to znaczy takie, w których podstruktury o dalszych (większych) indeksach są zawarte w tych o wcześniejszych (mniejszych) indeksach. W takiej sytuacji filtracja zdefiniowana w pierwszym akapicie nazywana jest niemalejącą.

Za przykład niemalejącej filtracji może posłużyć rodzina ciągów Fareya, w której ciąg rzędu $k$ zawiera wszystkie elementy ciągu $k-1$:

${ℱ}_1=(\frac{0}{1},\frac{1}{1})$;

${ℱ}_2=(\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{1})$;

${ℱ}_3=(\frac{0}{1},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{1})$;

${ℱ}_4=(\frac{0}{1},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{1}{1})$;

${ℱ}_5=(\frac{0}{1},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{1}{1})$; ...

Probabilistyka

Przedstawione definicje wykorzystywane w rachunku prawdopodobieństwa, wykorzystując pojęcia teorii miary, uogólniają się mutatis mutandis na przestrzenie mierzalne/z miarą.

Niech $T$ oznacza pewien uporządkowany liniowo zbiór indeksów (zwykle przedział $[0,\mathrm{\infty }]$), w tym wypadku interpretowany zwykle jako czas. Filtracją przestrzeni probabilistycznej $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ nazywa się niemalejącą rodzinę σ-ciał $({ℱ}_t{)}_{t\in T}$ zawartą w $ℱ,$ tzn.

${ℱ}_s\subseteq F_t\subseteq ℱ$ dla $s⩽t$ oraz $s,t\in T.$

Zdarzenia z σ-ciała ${ℱ}_t$ można interpretować jako zdarzenia obserwowalne do chwili $t$ przy czym, zgodnie z intuicją, dostępna wiedza rośnie z czasem (informacje w niej zawarte nie ulegają zmianie, ale stają się jedynie bardziej szczegółowe).

Jeśli $X=(X_t{)}_{t\in T}$ jest procesem stochastycznym, to filtracją generowaną przez $X$ nazywa się rodzinę ${\left({ℱ}_t^X\right)}_{t\in T}$ daną wzorem

${ℱ}_t^X=\sigma (X_s:s⩽t),$

tzn. σ-ciało odpowiadające chwili $t$ jest generowane przez zdarzenia do chwili $t$ włącznie. Intuicyjnie filtracja zawiera wyłącznie informacje o samym procesie.

Proces $X=(X_t{)}_{t\in T}$ jest zgodny z filtracją lub adaptowany do filtracji $({ℱ}_t{)}_{t\in T}$, gdy dla wszystkich $t\in T$ zmienna losowa $X_t$ jest mierzalna względem ${ℱ}_t.$ Sam proces $X$ jest zgodny z $({ℱ}_t{)}_{t\in T}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${ℱ}_t^X\subseteq {ℱ}_t$ dla $t\in T.$ Oznacza to, że proces jest zgodny z filtracją, gdy w danym momencie zawiera ona wszystkie informacje o przebiegu procesu (choć może zawierać też dodatkowe). W szczególności każdy proces jest zgodny z generowaną przez siebie filtracją.

Niech ${ℱ}_{t+}:=\bigcap _{s>t}{ℱ}_s.$ Filtracja $ℱ$ spełnia warunki zwykłe, gdy jest

• prawostronnie ciągła: dla każdego $t\in T$ zachodzi równość ${ℱ}_t={ℱ}_{t+}$

oraz

• zupełna: dla dowolnego $t\in T$ przestrzeń probabilistyczna $(\mathrm{\Omega },{ℱ}_t,\mathbb{P})$ jest zupełna, tj. prawdopodobieństwo $\mathbb{P}$ jest miarą zupełną w $(\mathrm{\Omega },{ℱ}_t)$.

Algebra

Szablon:Zobacz też Filtracją grupy $G$ nazywa się niemalejący (względem zawierania) ciąg jej podgrup, tzn.

$G_{i+1}⩽G_i(i\in I\subseteq \mathbb{N}),$

zwykle nazywa się ją ciągiem podgrup tej grupy. Jeśli każda podgrupa jest normalna w kolejnej,

$G_{i+1}⊴G_i(i\in I\subseteq \mathbb{N}),$

to ciąg nazywa się ciągiem normalnym (podobnie gdy każda podgrupa jest charakterystyczna w kolejnej ciąg nazywa się charakterystycznym itd.). Najczęściej wymaga się jednak, by wszystkie były normalne w grupie $G,$ tj.

$G_i⊴G(i\in I\subseteq \mathbb{N}),$

mówi się wtedy o ciągu podnormalnym podgrup grupy $G.$

Definicje te przenoszą się wprost na pierścienie (ciała), moduły, czy przestrzenie liniowe; w ostatnim przypadku filtracje znane są szerzej jako flagi, w pozostałych rozpatruje się również filtracje niemalejące (przytoczone definicje dla grup są przykładami filtracji nierosnących).