Twierdzenie Baire’a

Twierdzenie Baire’a – twierdzenie w topologii mówiące, że przeliczalna suma zbiorów nigdziegęstych w przestrzeni zupełnej jest zbiorem brzegowym. Twierdzenie to zostało nazwane na cześć francuskiego matematyka René-Louisa Baire’a.

Twierdzenie

Niech $X$ będzie zupełną przestrzenią topologiczną i niech $F_1,F_2,\dots \subseteq X$ będzie przeliczalną rodziną domkniętych zbiorów nigdziegęstych. Niech $E$ oznacza sumę mnogościową tych zbiorów:

$E=F_1\cup F_2\cup \cdots \cup F_k\cup \cdots$

Wówczas $E$ jest zbiorem brzegowym.

Równoważnie: Przekrój przeliczalnej rodziny gęstych zbiorów otwartych jest gęsty.

Równoważnie: W przestrzeni zupełnej $(X,d)$ każdy zbiór I kategorii jest brzegowy.

Dowód: Niech $A$ będzie zbiorem I kategorii, czyli $A=\bigcup _n{A}_n$ gdzie $A_n$ jest nigdziegęsty dla dowolnego $n\in \mathbb{N}.$ Pokażemy, że $A$ jest brzegowy, czyli $\overline{X\mathrm{\setminus }A}=X.$

Niech $K_0$ będzie dowolną kulą otwartą. Udowodnimy, że $K_0\cap (X\mathrm{\setminus }A)\ne \mathrm{\varnothing }.$ Skoro $A_1$ jest nigdziegęsty, to istnieje kula $K_1\subset K_0,$ że $K_1\cap A_1=\mathrm{\varnothing }.$ Możemy przyjąć, że $K_1$ jest kulą domkniętą oraz $\delta (K_1)<1$ (gdzie $\delta$ oznacza średnicę zbioru). Następnie, w kuli $K_1$ znajdziemy kulę domkniętą $K_2,$ że $K_2\cap A_2=\mathrm{\varnothing }$ i $\delta (K_2)<\frac{1}{2}.$

Indukcyjnie, znajdziemy ciąg kul domkniętych $\{K{\}}_n$ taki, że: dla dowolnego $n\in \mathbb{N}$ mamy: $K_n\cap A_n=\mathrm{\varnothing },$ $K_{n+1}\subset K_n,$ $\delta (K_n)<\frac{1}{n}.$ Z twierdzenia Cantora, mamy:

$\bigcap _n{K}_n\ne \mathrm{\varnothing }.$

Zatem: $\mathrm{\varnothing }\ne \bigcap _n{K}_n\subset \bigcap _n(X\mathrm{\setminus }{A}_n)=X\mathrm{\setminus }\bigcup _n{A}_n=X\mathrm{\setminus }A$

oraz

$\bigcap _n{K}_n\subset K_0,$

więc

$\bigcap _n{K}_n\subset K_0\cap (X\mathrm{\setminus }A)\ne \mathrm{\varnothing }.$ $◻$

Zastosowania

Twierdzenie Baire’a ma liczne zastosowania. W analizie funkcjonalnej wykorzystuje się je w dowodach takich twierdzeń, jak: twierdzenie o odwzorowaniu otwartym, twierdzenie o wykresie domkniętym, twierdzenie Banacha-Steinhausa.

Z twierdzenia Baire’a wynika także fakt, że każda przestrzeń metryczna zupełna bez punktów izolowanych jest nieprzeliczalna. W szczególności zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.

Dowód Banacha twierdzenia o istnieniu funkcji ciągłych i nieróżniczkowalnych

Stefan Banach użył twierdzenia Baire’a do dowodu istnienia funkcji ciągłych na odcinku $[0,1],$ które nie są różniczkowalne w żadnym punkcie swojej dziedziny. Dowód Banacha pokazuje, że zbiór funkcji które mają pochodną w choć jednym punkcie jest I kategorii, tj. jest topologicznie mały.

Dowód. Niech $C[0,1]$ oznacza przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na odcinku $[0,1]$ z normą supremum. Ponadto niech dla wszelkich liczb naturalnych $k⩾1$ dany będzie zbiór

$N_k=\{f\in C[0,1]:{\mathrm{\exists }}_{x\in [0,1]}{\mathrm{\forall }}_{h\ne 0}\left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right|⩽k\}.$

Zbiory $N_k$ ($k$ jest liczbą naturalną) są domknięte. Istotnie, niech $(f_n)$ będzie ciągiem funkcji ze zbioru $N_k$ zbieżnym do pewnej funkcji $f\in C[0,1].$ Niech $x_n$ będzie punktem dla którego funkcja $f_n$ spełnia warunek w definicji zbioru $N_k$ oraz niech $x_0$ będzie punktem skupienia ciągu $(x_n)$ (punkt taki istnieje, co wynika z (ciągowej) zwartości odcinka $[0,1]$). Wówczas funkcja graniczna $f$ spełnia warunek określający zbiór $N_k$ w punkcie $x_0,$ tj. $f\in N_k,$ co dowodzi domkniętości.

Niech $A$ będzie rodziną funkcji ciągłych, odcinkami liniowych (tj. takich, których wykresami są łamane). Zbiór ten jest gęsty w $C[0,1].$ Ponadto każdą funkcję ze zbioru $A,$ można aproksymować z dowolną dokładnością funkcjami spoza zbioru $N_k.$ Wynika stąd, iż

$C[0,1]=\bar{A}\subseteq \overline{C[0,1]\setminus N_k}(k\in \mathbb{N}),$

co w szczególności implikuje, że każdy ze zbiorów $N_k$ ma puste wnętrze. Dowodzi to, że zbiory $N_k$ są brzegowe.

Każdy ze zbiorów $N_k$ jest domknięty i brzegowy, a więc nigdziegęsty. Z twierdzenia Baire’a wynika, że

$\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{N}_k\ne C[0,1].$

Dla zakończenia dowodu wystarczy zauważyć, że jeżeli funkcja w pewnym punkcie ma skończoną pochodną, to należy do pewnego zbioru $N_k,$ a zatem zbiór funkcji ciągłych na $[0,1]$ które mają pochodną w choć jednym punkcie jest pierwszej kategorii. Istnieją więc funkcje ciągłe na odcinku $[0,1]$ bez pochodnych w żadnym punkcie. $◻$

Zobacz też

• przestrzeń Baire’a
• twierdzenie Banacha-Steinhausa
• własność Baire’a
• zbiór nigdziegęsty
• zbiór pierwszej kategorii