Zbiór pierwszej kategorii

Zbiór pierwszej kategorii (czasami zbiór mizerny lub szczupły) – zbiór, który można przedstawić w postaci przeliczalnej sumy zbiorów nigdziegęstych.

Definicja formalna

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór $A\subseteq X$ jest pierwszej kategorii Baire’a w $X$ (lub I kategorii) jeśli można go przedstawić jako sumę $A=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n,$ gdzie każdy ze zbiorów $A_n$ jest nigdziegęsty w $X$ (tzn. $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}(\mathrm{c}\mathrm{l}(A_n))=\mathrm{\varnothing }$). Rodzinę wszystkich zbiorów pierwszej kategorii w $X$ będziemy oznaczać przez $𝒦(X)$ (albo po prostu przez $𝒦$ jeśli jest jasne o jakiej przestrzeni topologicznej mówimy).

Zbiory które nie są pierwszej kategorii nazywane są zbiorami drugiej kategorii Baire’a (lub II kategorii).

Własności

• Zbiory pierwszej kategorii w przestrzeni $X$ tworzą σ-ideał podzbiorów $X.$ Każdy zbiór z $𝒦(X)$ jest zawarty w pewnym zbiorze typu F_σ, który też jest pierwszej kategorii.
• Otwarte niepuste podzbiory przestrzeni zupełnej nie są pierwszej kategorii w tej przestrzeni.
• Doskonałe przestrzenie polskie wyglądają tak samo jeśli patrzymy na ich podzbiory borelowskie i zbiory pierwszej kategorii: jeśli $X,Y$ są doskonałymi przestrzeniami polskimi to istnieje izomorfizm borelowski $\phi :X⟶Y$ który zachowuje zbiory pierwszej kategorii (tzn. $A\in 𝒦(X)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\phi (A)\in 𝒦(Y)$).
• Każda rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej $ℝ$ które nie są pierwszej kategorii jest co najwyżej przeliczalna.

Przykłady i zastosowanie

• Każdy przeliczalny podzbiór prostej rzeczywistej $ℝ$ jest I kategorii w $ℝ.$ W szczególności zbiór liczb wymiernych jest pierwszej kategorii (choć jest to gęsty podzbiór $ℝ$).
• Prostą rzeczywistą $ℝ$ można przedstawić jako sumę dwóch zbiorów, $ℝ=K\cup L,$ takich że

$K$ jest zbiorem pierwszej kategorii, a

$L$ jest zbiorem miary zero Lebesgue’a.

Aby podać przykład takich zbiorów $K,L$ ustalmy numerację $⟨q_n:n=1,2,3,\dots ⟩$ zbioru liczb wymiernych. (Przypomnijmy, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.) Dla liczb naturalnych $n,m$ niech $I_m^n$ będzie odcinkiem otwartym o środku w $q_n$ i długości $2^{-(n+m)}.$ Wówczas zbiór $L=\bigcap _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_m^n$ jest miary zero, ale jego dopełnienie $K=ℝ\setminus L$ jest pierwszej kategorii.

• Inny przykład rozkładu jak powyżej jest dany przez liczby Liouville’a: zbiór liczb Liouville’a jest miary zero na prostej, a jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii.
• Polski matematyk Stefan Banach przedstawił w 1931 następujące spektakularne zastosowanie zbiorów pierwszej kategorii. Niech $𝒞([0,1])$ będzie przestrzenią wszystkich funkcji ciągłych z odcinka $[0,1]$ w zbiór liczb rzeczywistych $ℝ.$ Wyposażmy $𝒞([0,1])$ w topologię zbieżności jednostajnej zadanej przez metrykę

$d(f,g)=\sup \{|f(x)-g(x)|:x\in [0,1]\}.$

Wówczas $𝒞([0,1])$ jest przestrzenią polską. Rozważmy zbiór

$NR=\{f\in 𝒞([0,1]):f$ nie ma pochodnej w żadnym punkcie odcinka $[0,1]\}.$

Banach udowodnił, że zbiór $𝒞([0,1])\setminus NR$ jest pierwszej kategorii w $𝒞([0,1]),$ czyli że z topologicznego punktu widzenia prawie każda funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.

Gra Banacha-Mazura

Ze zbiorami pierwszej kategorii związana jest (najprawdopodobniej) pierwsza z pozycyjnych gier nieskończonych rozważanych w matematyce. Gra ta była opisana przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w Problemie 43 w Księdze Szkockiej. Odpowiedź na pytanie Mazura była dana przez Stefana Banacha w 1935.

Niech Z będzie dowolnym podzbiorem $ℝ.$ Rozważmy następującą grę dwóch graczy, oznaczanych przez A i B. Gracze wykonują nieskończenie wiele posunięć ponumerowanych liczbami naturalnymi $n=1,2,3,\dots$ Zaczynają w ten sposób, że Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty $I_1,$ a Gracz B odpowiada przez wskazanie niepustego otwartego przedziału $I_2\subseteq I_1.$ Kiedy gracze dochodzą do $n$ tego kroku w grze, to mają oni skonstruowany zstępujący ciąg niepustych przedziałów otwartych $I_1\supseteq I_2\supseteq \dots I_{2n-2}\supseteq I_{2n-1}.$ Na $n$ tym etapie gry najpierw Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty $I_{2n}\subseteq I_{2n-1},$ a potem Gracz B wskazuje niepusty otwarty przedział $I_{2n+1}\subseteq I_{2n}.$

Kiedy gracze wykonają już wszystkie posunięcia (jest ich nieskończenie wiele!), to decydujemy, że Gracz B wygrał partię $⟨I_n:n=1,2,3,4,\dots ⟩$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_n\subseteq Z.$

Okazuje się, że Gracz B ma strategię zwycięską w tej grze wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór $ℝ\setminus Z$ jest pierwszej kategorii.

Zobacz też

• diagram Cichonia
• ideały w teorii mnogości
• własność Baire’a
• zbiór nigdziegęsty