Wzór sumacyjny Eulera

Wzór sumacyjny Eulera (ang. Euler’s summation formula) – tożsamość stosowana w analitycznej teorii liczb. Podobnie jak wzór sumacyjny Abela, pozwala on wyrazić dyskretną sumę wartości danej funkcji różniczkowalnej przez całkę. Wzór ten został przedstawiony przez Leonharda Eulera w 1736 r., a następnie uogólniony. Jest to szczególny przypadek wzoru sumacyjnego Eulera-Maclaurina.

Treść twierdzenia

Niech dane będą liczby $0<y⩽x$ oraz funkcja $f$ różniczkowalna na przedziale $[y,x].$ Wówczas

$\sum _{y<n⩽x}f(n)=\underset{y}{\overset{x}{\int }}f(t)dt+\underset{y}{\overset{x}{\int }}\{t\}{f}^{\prime }(t)dt-\{x\}f(x)+\{y\}f(y),$

gdzie suma po lewej stronie jest po wszystkich liczbach całkowitych $n\in (y,x],$ a $\{t\}$ oznacza część ułamkową liczby $t.$

Dowód. Oznaczając $F(x)=[x]=x-\{x\},$ sumę po prawej możemy wyrazić jako całkę Riemanna-Stieltjesa

$\sum _{y<n⩽x}f(n)=\underset{y}{\overset{x}{\int }}f(t)dF(t)=\underset{y}{\overset{x}{\int }}f(t)dt-\underset{y}{\overset{x}{\int }}f(t)d\{t\}.$

Drugą z nich możemy wyrazić całkując przez części,

$\underset{y}{\overset{x}{\int }}f(t)d\{t\}=\{x\}f(x)-\{y\}f(y)-\underset{y}{\overset{x}{\int }}\{t\}{f}^{\prime }(t)dt.$

Stąd wynika wzór EuleraSzablon:Odn.

Przykłady

Szereg harmoniczny

Szablon:Osobny artykuł Niech

$S(x)=\sum _{n⩽x}\frac{1}{n}.$

Udowodnimy, że

$S(x)=\log x+\gamma +O\left(\frac{1}{x}\right),$

gdzie $\log$ to logarytm naturalny, a $\gamma$ to stała Eulera-Mascheroniego. Dla $x⩾1$ zachodzi

$S(x)=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{t}-\underset{1}{\overset{x}{\int }}\{t\}\frac{dt}{t^2}+\frac{\{x\}}{x}+1=\log x-I(x)+1+O\left(\frac{1}{x}\right),$

gdzie:

$I(x)=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\{t\}\frac{dt}{t^2}.$

Zauważmy, że przy $x\to \mathrm{\infty }$ całka $I(x)$ jest zbieżna. Dlatego możemy zapisać

$I(x)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\{t\}\frac{dt}{t^2}-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\{t\}\frac{dt}{t^2}=I-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\{t\}\frac{dt}{t^2}=I+O\left(\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{t^2}\right)=I+O\left(\frac{1}{x}\right),$

gdzie $I=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }I(x).$ To dowodzi, że

$S(x)=\log x+1-I+O\left(\frac{1}{x}\right),$

gdzie stała $1-I$ jest z definicji równa

$1-I=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(S(x)-\log x)=\gamma .$

To dowodzi podanej zależnościSzablon:Odn.

Wzór Stirlinga

Szablon:Osobny artykuł Wykażemy prawdziwość wzoru Stirlinga w postaci

$\lfloor x\rfloor !=C\sqrt{x}{x}^x{e}^{-x}(1+O\left(\frac{1}{x}\right))$

dla pewnej stałcej $C,$ gdzie $\lfloor x\rfloor$ oznacza podłogę z liczby $x$Szablon:Odn. Skorzystamy z postaci silni jako sumy częściowej logarytmów naturalnych,

$\lfloor x\rfloor !=\exp (\log (\lfloor x\rfloor !))=\exp (\sum _{n⩽x}\log n).$

Ze wzoru sumacyjnego Eulera zachodzi

$\sum _{n⩽x}\log n=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\log tdt+\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\{t\}}{t}dt-\{x\}\log x.$

Pierwsza całka wynosi

$\underset{1}{\overset{x}{\int }}\log tdt={t(\log t-1)|}_1^x=x\log x-x+1.$

W przypadku drugiej całki zdefiniujemy funkcję pomocniczą $\rho (t)=\frac{1}{2}-\{t\}.$

$\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\{t\}}{t}dt=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{2t}dt-\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\rho (t)}{t}dt=I_1(x)-I_2(x).$

Widzimy, że

$I_1(x)=\frac{1}{2}\log x.$

W przypadku $I_2(x)$ skorzystamy z całkowania przez części.

$I_2(x)={\frac{R(t)}{t}|}_1^x+I_3(x),$

gdzie:

$R(x)=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\rho (t)dt$

oraz

$I_3(x)=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{R(t)}{t^2}dt.$

Ponieważ funkcja $\rho$ jest okresowa, z okresem 1, i $|\rho (x)|⩽\frac{1}{2},$ to $|R(x)|⩽\frac{1}{2}.$ Dlatego

${\frac{R(t)}{t}|}_1^x=O\left(\frac{1}{x}\right).$

Dodatkowo, wynika stąd, że całka $I_3(x)$ jest ograniczona z góry,

$I_3(x)⩽\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{|R(t)|}{t^2}dt⩽\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{2}(\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{t^2}-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{t^2})=\frac{1}{2}+O\left(\frac{1}{x}\right).$

Powyższe nierówności są prawdziwe, ponieważ całka po $t^{-2}$ jest zbieżna.

Łącząc uzyskane zależności, otrzymamy

$\sum _{n⩽x}\log n=x\log x-x+\frac{1}{2}\log x+c+O\left(\frac{1}{x}\right).$

Biorąc $\exp$ obu stron, uzyskamy wzór.

Funkcja zeta Riemanna

Szablon:Osobny artykuł Udowodnimy, że funkcja zeta zdefiniowana za pomocą szeregu

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

dla wszystkich liczb zespolonych $s$ o części rzeczywistej $\mathrm{\Re }(s)>1$ spełnia zależnośćSzablon:Odn

$\zeta (s)=\frac{s}{s-1}-\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\{t\}}{t^{s+1}}dt.$

Biorąc $f(n)=n^{-s},$ otrzymamy

$\sum _{n⩽x}\frac{1}{n^s}=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{t^s}-s\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\{t\}}{t^{s+1}}dt-\frac{\{x\}}{x^s}+1.$

Aby z lewej strony równania otrzymać funkcję Riemanna, chcemy aby $x\to \mathrm{\infty }.$ Widzimy, że

$\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{t^s}=\frac{1-x^{1-s}}{s-1}=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{x^{s-1}(s-1)}=\frac{1}{s-1}.$

Stąd

$\zeta (s)=1-\frac{1}{s-1}-s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\{t\}}{t^{s+1}}dt=\frac{s}{s-1}-s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\{t\}}{t^{s+1}}dt$

dla $\mathrm{\Re }(s)>1.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj