Punkt (topologia)

Punkt – element przestrzeni topologicznej. W zależności od rodzaju przestrzeni, jej punktami mogą być: liczby, ciągi liczbowe (skończone lub nieskończone), punkty przestrzeni euklidesowej, punkty rozmaitości topologicznej, funkcje, ideały pierwsze pierścienia przemiennego, ideały maksymalne algebr Banacha, elementy różnych struktur algebraicznych itp.

Przykłady

W przestrzeni $ℝ^{n}$ punktem jest ciąg $n$ -elementowy $(x_{1}, \dots, x_{n}) .$
Na płaszczyźnie zespolonej punktami są liczby zespolone.
W przestrzeni Hilberta $ℓ_{2}$ punktami są nieskończone ciągi liczbowe $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, \dots),$ dla których szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} | x_{n} |^{2}$ jest zbieżny Szablon:Odn^[1].
W przestrzeni funkcyjnej punktami są funkcje. Na przykład w przestrzeni $C [a, b]$ punktami są funkcje ciągłe $f : [a, b] \to ℝ$ ^[2].
W przestrzeni sprzężonej z przestrzenią unormowaną $E$ z topologią silną (albo słabą) punktami są funkcjonały liniowe na $E$ ^[3].
Punktami spektrum $Spec (R)$ pierścienia przemiennego $R$ z jedynką są jego ideały pierwsze^[4].
Dla przemiennej algebry Banacha $A$ zbiór jej ideałów maksymalnych można utożsamiać z podprzestrzenią topologiczną sfery jednostkowej przestrzeni sprzężonej $A^{*}$ z *-słabą topologią^[5]. Zatem w tej przestrzeni punktami są ideały maksymalne algebry Banacha.
Elementami grupy topologicznej $S O (3)$ są macierze ortogonalne rzędu $3 \times 3$ o wyznaczniku równym 1. Macierze te mogą być interpretowane jako punkty trójwymiarowej przestrzeni rzutowej $ℝ P^{3},$ bo obie te przestrzenie są homeomorficzne^[6].

W przestrzeni T₁ każdy punkt jest zbiorem domkniętym Szablon:Odn.
Jeżeli przestrzeń T₁ ma skończoną liczbę punktów, to każdy jej podzbiór jest zarówno domknięty, jak i otwarty. W szczególności każdy jej punkt jest domknięto-otwarty.
Każdą przestrzeń lokalnie zwartą $X$ można uzwarcić dodając do niej jeden punkt $p,$ a do bazy zbiorów otwartych – dopełnienia podzbiorów zwartych $Z$ zbioru $X,$ czyli zbiory ${p} \cup X ∖ Z$ (twierdzenie Aleksandrowa)^[7]. W szczególności okrąg jednostkowy jest uzwarceniem prostej ${(x, y) : y = 0}$ za pomocą punktu $(0, 1),$ a sfera jednostkowa ${(x, y, z) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}$ jest uzwarceniem płaszczyzny ${(x, y, z) : z = 0}$ za pomocą punktu $(0, 0, 1)$ Szablon:Odn.