Pierścień topologiczny

Pierścień topologiczny – pierścień $R$ w którym określona jest topologia o tej własności, że

dodawanie $(x,y)\mapsto x+y$ jest ciągłe jako funkcja $R\times R\to R,$

mnożenie $(x,y)\mapsto x\cdot y$ jest ciągłe jako funkcja $R\times R\to R,$

działanie $x\mapsto -x$ jest ciągłe jako funkcja $R\to R.$

Z definicji pierścienia topologicznego wynika, że grupa addytywna pierścienia $(R,+)$ jest grupą topologiczną. Jeżeli pierścień topologiczny jest ciałem oraz

działanie $x\mapsto x^{-1}$ jest ciągłe jako funkcja $R^{\times }\to R^{\times },$

gdzie $R^{\times }=R\setminus \{0\}$ jest zbiorem elementów odwracalnych, to używa się w odniesieniu do niego nazwy ciało topologiczne.

Przykłady

Naturalnymi przykładami pierścieni topologicznych są pierścienie (ciała) liczb rzeczywistych, zespolonych czy p-adycznych (z topologiami wprowadzonymi przez ich naturalne metryki). Pierścienie topologiczne pojawiają się w naturalny sposób w analizie. Do klasycznych przykładów można zaliczyć:

• pierścień wszystkich rzeczywistych (bądź zespolonych) funkcji ograniczonych określonych na pewnym zbiorze $X$ (z działaniami określonymi punktowo),
• pierścień $C_0(X)$ wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych znikających w nieskończoności, określonych na przestrzeni lokalnie zwartej $X$ z topologią zbieżności niemal jednostajnej,
• pierścień wszystkich funkcji analitycznych określonych na pewnym obszarze płaszczyzny zespolonej z topologią zbieżności niemal jednostajnej.

W szczególności, każda algebra topologiczna (a więc każda algebra Banacha) jest pierścieniem topologicznym.

Własności

• Produkt dowolnej rodziny pierścieni topologicznych jest pierścieniem topologicznym (z topologią Tichonowa). Ogólniej: Niech $\{R_i:i\in I\}$ będzie rodziną pierścieni topologicznych oraz niech $R$ będzie dowolnym pierścieniem. Jeżeli $\{f_i:i\in I\}$ jest taką rodziną funkcji, że dla każdego $i$ funkcja $f_i$ jest homomorfizmem $R_i\to R,$ to pierścień $R$ wyposażony w topologię wprowadzoną przez rodzinę przekształceń $\{f_i:i\in I\}$ jest pierścieniem topologicznym.
• Składowa spójności $C$ zera pierścienia topologicznego $R$ jest domkniętym ideałem w $R$ oraz zbiór $x+C$ jest składową spójności elementu $x$ tego pierścienia. Wynika z powyższego, że topologia pierścienia topologicznego, który nie ma właściwych domkniętych ideałów jest albo Hausdorffa i spójna albo Hausdorffa i totalnie niespójna albo antydyskretna. W szczególności, własność tę mają topologie pierścieni topologicznych z dzieleniem.
• W lokalnie zwartym i totalnie niespójnym pierścieniu topologicznym wszystkie zwarte i otwarte podpierścienie tworzą układ fundamentalny otoczeń zera.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Topological ring Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].