Nierówność między średnimi potęgowymi

Nierówność między średnimi potęgowymi (nierówność między średnimi uogólnionymi) – jedna z klasycznych nierówności mówiąca o własnościach średniej potęgowej. Jest ona uogólnieniem nierówności Cauchy’ego między średnimi, sama zaś jest uogólniana przez nierówność Muirheada.

Definicja i twierdzenie

Szablon:Dopracować Średnią potęgową rzędu $p$ liczb $x_1,x_2,\dots ,x_n$ definiuje się jako:

• ${\mu }_p(x_1,x_2,\dots ,x_n)={\left(\frac{x_1^p+x_2^p+\dots +x_n^p}{n}\right)}^{1/p}$ dla $p\in ℝ\setminus \{0\},$
• ${\mu }_0(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n},$
• ${\mu }_{-\mathrm{\infty }}(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\min (x_1,x_2,\dots ,x_n),$
• ${\mu }_{+\mathrm{\infty }}(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\max (x_1,x_2,\dots ,x_n).$

Przykładowo, dla $p=1$ otrzymujemy średnią arytmetyczną, dla $p=0$ średnią geometryczną, dla $p=-1$ średnią harmoniczną, dla $p=2$ średnią kwadratową.

Twierdzenie

Niech $-\mathrm{\infty }⩽p<q⩽+\mathrm{\infty }$ i niech dane będzie $n$ liczb $x_1,x_2,\dots ,x_n>0$ (jeśli ograniczamy się do rzędów $p,q>0,$ można przyjąć $x_1,x_2,\dots ,x_n⩾0$).

Wówczas średnia potęgowa rzędu $p$ liczb $x_1,x_2,\dots ,x_n$ jest nie większa od ich średniej potęgowej rzędu $q,$ czyli

${\mu }_p(x_1,\dots ,x_n)⩽{\mu }_q(x_1,\dots ,x_n).$

Ponadto równość w powyższym wyrażeniu zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy liczby $x_1,x_2,\dots ,x_n$ są wszystkie równe.

Wniosek

Dla dowolnych liczb dodatnich $x_1,x_2,\dots ,x_n$ funkcja

$ℝ\ni t\mapsto {\mu }_t(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in ℝ$

jest funkcją niemalejącą. Więcej: można pokazać, że jest stała lub ściśle rosnąca.

Przykład

Udowodnimy korzystając z powyższej nierówności, że

jeśli $a,b,c>0$ oraz $a^3+b^3+c^3=81,$ to $a+b+c⩽9.$

W tym celu zauważmy, że na mocy nierówności między średnimi potęgowymi rzędów 1 oraz 3 mamy

$\frac{a+b+c}{3}⩽{\left(\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\right)}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3,$

co jest równoważne nierówności, którą mieliśmy udowodnić.

Dowód

Na potrzeby wszystkich dowodów dla uproszczenia zakładamy, że wagi $w_i$ spełniają warunki:

$w_i\in (0;1]$

$\sum _{i=1}^n{w}_i=1$

Średnia geometryczna

Dla dowolnego $q$ nierówność między średnią rzędu $q$ i średnią geometryczną możemy przekształcić w następujący sposób:

$\prod _{i=1}^n{x}_i^{w_i}⩽\sqrt[q]{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^q}$

$\sqrt[q]{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^q}⩽\prod _{i=1}^n{x}_i^{w_i}$

(pierwsza nierówność jest prawdziwa dla $q>0,$ druga w przeciwnym wypadku)

podnosimy obustronnie do potęgi $q:$

$\prod _{i=1}^n{x}_i^{w_i\cdot q}⩽\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^q$

i w obu przypadkach otrzymujemy nierówność między ważoną średnią arytmetyczną i geometryczną dla ciągu $x_i^q,$ którą możemy udowodnić przy użyciu nierówności Jensena, korzystając z wklęsłości funkcji logarytmicznej:

$\sum _{i=1}^n{w}_i\log (x_i)⩽\log \sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i$

$\log \prod _{i=1}^n{x}_i^{w_i}⩽\log \sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i$

Po złożeniu obu stron nierówności z (rosnącą) funkcją wykładniczą $x\to e^x$ uzyskuje się żądaną nierówność:

$\prod _{i=1}^n{x}_i^{w_i}⩽\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i.$

Stąd dla dowolnego dodatniego $q$ zachodzi:

$\sqrt[-q]{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^{-q}}⩽\prod _{i=1}^n{x}_i^{w_i}⩽\sqrt[q]{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^q}$

tym samym udowodniliśmy nierówność między dowolną średnią potęgową a średnią geometryczną.

Średnia geometryczna jako granica

Możemy ponadto udowodnić, że średnia geometryczna jest granicą średnich potęgowych dla rzędu dążącego do zera. W pierwszej kolejności udowodnimy granicę:

$\underset{p\to 0}{\lim }\frac{\log \left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right)}{p}=\sum _{i=1}^n{w}_i\log (x_i)$

Granice licznika i mianownika są, odpowiednio, równe 0, więc z reguły de l’Hospitala wynika, iż:

$\underset{p\to 0}{\lim }\frac{\log \left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right)}{p}=\underset{p\to 0}{\lim }\frac{1}{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}\cdot \left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right)=$

$=\frac{1}{\sum _{i=1}^n{w}_i}\cdot \underset{p\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n(w_i\cdot \log (x_i)\cdot x_i^p)=\sum _{i=1}^n{w}_i\log (x_i)$

Następnie korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej:

$\underset{p\to 0}{\lim }\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}=\underset{p\to 0}{\lim }\exp \left(\frac{\log \left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right)}{p}\right)=\exp \left(\underset{p\to 0}{\lim }\frac{\log \left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right)}{p}\right)=\exp (\sum _{i=1}^n{w}_i\log (x_i))=\prod _{i=1}^n{x}_i^{w_i}$

co kończy dowód.

Nierówność między dowolnymi średnimi potęgowymi

Chcemy udowodnić, że dla dowolnych $p<q$ zachodzi:

$\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}⩽\sqrt[q]{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^q}$

w przypadku kiedy $p$ jest ujemne, a $q$ dodatnie, nierówność jest równoważna nierówności udowodnionej wcześniej:

$\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}⩽\prod _{i=1}^n{x}_i^{w_i}⩽\sqrt[q]{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^q}$

Udowodnijmy zatem nierówność dla dodatnich $p$ i $q.$

Weźmy funkcję $f:{ℝ}_{\mathbb{+}}\to {ℝ}_{\mathbb{+}},$ $f(x)=x^{\frac{q}{p}}.$ Oczywiście $f$ jest rosnąca, bo $q$/$p$ jest dodatnie. Jest to funkcja potęgowa, ma zatem drugą pochodną: $f^{″}(x)=\left(\frac{q}{p}\right)(\frac{q}{p}-1)x^{\frac{q}{p}-2},$ która jest zawsze dodatnia, bo $q$ > $p,$ z czego wynika wypukłość $f.$

Z nierówności Jensena uzyskujemy wobec tego:

$f\left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right)⩽\sum _{i=1}^n{w}_{i}f(x_i^p)$

$\sqrt[\frac{p}{q}]{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}⩽\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^q$

po wyciągnięciu obustronnie pierwiastka $q$-tego stopnia (funkcja rosnąca, bo $q$ > 0) uzyskujemy żądaną nierówność dla dodatnich $p$ i $q:$

$\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}⩽\sqrt[q]{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^q}$

Jeśli rozważamy rzędy $p,q$ ujemne, wówczas $x_i>0,$ więc można podstawiając $x_i:=\frac{1}{x_i}$ bez straty ogólności uzyskać:

$\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^p}}⩽\sqrt[q]{\sum _{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^q}}$

Podnosimy obustronnie do potęgi -1 (funkcja malejąca):

$\sqrt[-p]{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^{-p}}=\sqrt[p]{\frac{1}{\sum _{i=1}^n{w}_i\frac{1}{x_i^p}}}⩾\sqrt[q]{\frac{1}{\sum _{i=1}^n{w}_i\frac{1}{x_i^q}}}=\sqrt[-q]{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^{-q}}$

A zatem dowiedliśmy nierówności także dla ujemnych $p$ i $q$ co kończy dowód.

Minimum i maksimum

Minimum i maksimum przyjmuje się za średnie potęgowe rzędów $\pm \mathrm{\infty }.$ Wynika to z faktu, że są to odpowiednie granice średnich potęgowych, dowód jest następujący:

Niech $x_1$ będzie największym, a $x_n$ najmniejszym z $x_i.$ Na początek korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach udowodnimy granicę:

$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{p}\ln \left(\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}{x_1^p}\right))=0$

Wystarczy zauważyć nierówności dla dodatnich $p:$

$\frac{1}{p}\ln (w_1)=\frac{1}{p}\ln \left(\frac{w_1{x}_1^p}{x_1^p}\right)⩽\frac{1}{p}\ln \left(\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}{x_1^p}\right)$

$\frac{1}{p}\ln \left(\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}{x_1^p}\right)⩽\frac{1}{p}\ln \left(\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_1^p}{x_1^p}\right)=\ln (1)=0$

Następnie korzystając z udowodnionej granicy:

$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{p}\ln \left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right)=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{p}\ln (x_1^p\cdot \frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}{x_1^p})=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{p}(\ln (x_1^p)+\ln \left(\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}{x_1^p}\right))=$

$=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{\ln (x_1^p)}{p}\right)+\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{p}\ln \left(\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}{x_1^p}\right))=\ln (x_1)+0=\ln (x_1)$

Stąd korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej:

$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\exp (\frac{1}{p}\ln \left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right))=\exp (\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{p}\ln \left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right))=x_1$

Analogicznie dla ujemnych $p:$

$\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{p}\ln \left(\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_n^p}{x_n^p}\right))=0$

bo (wciąż dla $p<0$):

$\frac{1}{p}\ln (w_n)=\frac{1}{p}\ln \left(\frac{w_n{x}_n^p}{x_n^p}\right)⩾\frac{1}{p}\ln \left(\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}{x_n^p}\right)$

$\frac{1}{p}\ln \left(\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}{x_n^p}\right)⩾\frac{1}{p}\ln \left(\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_n^p}{x_n^p}\right)=\ln (1)=0$

Stąd:

$\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{p}\ln \left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right)=\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{\ln (x_n^p)}{p}\right)+\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{p}\ln \left(\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}{x_n^p}\right))=\ln (x_n)$

I w końcu analogicznie:

$\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p}=\exp (\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{p}\ln \left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right))=x_n$

Zobacz też

• nierówność Muirheada