Nierówność Muirheada

Nierówność Muirheada – uogólnienie nierówności między średnimi potęgowymi. Nierówność Muirheada została udowodniona w 1903 roku, a jej uogólnienie w 2009.

Jeżeli $a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_n$ są liczbami nieujemnymi, takimi że:

$a_1⩾a_2⩾\dots ⩾a_n$

$b_1⩾b_2⩾\dots ⩾b_n$

$a_1+a_2+\dots +a_k⩾b_1+b_2+\dots +b_k$ dla $1⩽k<n$

$a_1+a_2+\dots +a_n=b_1+b_2+\dots +b_n$

to mówimy, że ciąg $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ majoryzuje ciąg $(b_1,b_2,\dots ,b_n)$ i piszemy $(a_1,a_2,\dots ,a_n)\succ (b_1,b_2,\dots ,b_n).$

Sformułowanie nierówności: jeżeli ciąg $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ majoryzuje ciąg $(b_1,b_2,\dots ,b_n)$ to dla nieujemnych liczb $x_1,x_2,\dots ,x_n$

$\sum _{s\in S_n}{x}_1^{a_{s(1)}}{x}_2^{a_{s(2)}}\dots x_n^{a_{s(n)}}⩾\sum _{s\in S_n}{x}_1^{b_{s(1)}}{x}_2^{b_{s(2)}}\dots x_n^{b_{s(n)}},$

gdzie $\sum _{s\in S_n}$ oznacza sumę dla wszystkich permutacji $s$ zbioru $\{1,2,\dots ,n\}.$