Metryka Lévy’ego-Prochorowa

Metryka Lévy’ego-Prochorowa – metryka określona na rodzinie miar probabilistycznych w przestrzeni metrycznej. Została wprowadzona w 1956 r. przez sowieckiego matematyka Jurija Prochorowa jako uogólnienie metryki Lévy’ego.

Definicja

Niech $(M,d)$ będzie przestrzenią metryczną z σ-ciałem zbiorów borelowskich $𝔅(M).$ Ponadto niech $𝒫(M)$ będzie rodziną wszystkich miar probabilistycznych określonych na przestrzeni mierzalnej $(M,ℬ(M)).$

Dla podzbioru $A\subseteq M$ zdefiniujmy epsilonowe otoczenie zbioru $A$

$A^{\epsilon }:=\{p\in M:\mathrm{\exists }q\in A,d(p,q)<\epsilon \}=\bigcup _{p\in A}{B}_{\epsilon }(p),$

gdzie $B_{\epsilon }(p)$ jest kulą otwartą wokół $p$ o promieniu $\epsilon .$

Metryka Lévy’ego-Prochorowa $\pi :𝒫(M{)}^2\to [0,+\mathrm{\infty })$ to odległość pomiędzy dwoma miarami probabilistycznymi $\mu$ i $\nu$ na $M,$ zdefiniowana jako

$\pi (\mu ,\nu ):=\inf \{\epsilon >0:\mathrm{\forall }A\in ℬ(M),\mu (A)⩽\nu (A^{\epsilon })+\epsilon \text{oraz}\nu (A)⩽\mu (A^{\epsilon })+\epsilon \}.$

Jasne jest, że dla miar probabilistycznych zachodzi $\pi (\mu ,\nu )⩽1.$

Niektórzy autorzy opuszczają jedną z dwóch nierówności lub wybierają jedynie otwarty lub domknięty zbiór $A.$ Jedna z nierówności implikuje drugą, a $(\overline{A}{)}^{\epsilon }=A^{\epsilon },$ ale ograniczenie się jedynie do zbiorów otwartych może zmienić zdefiniowaną metrykę, jeśli $M$ nie jest przestrzenią polską.

Własności

• Jeśli $(M,d)$ jest przestrzenią ośrodkową, zbieżność miar w metryce Lévy’ego-Prochorowa jest równoważna słabej zbieżności miar. Zatem w tym przypadku $𝒫(M)$ z topologią słabej zbieżności jest metryzowalna, a metryką tą jest właśnie $\pi .$
• Przestrzeń metryczna $(𝒫(M),\pi )$ jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy $(M,d)$ jest ośrodkowa.
• Jeśli $(𝒫(M),\pi )$ jest zupełna to $(M,d)$ jest zupełna. Ponadto jeśli wszystkie miary w $𝒫(M)$ mają ośrodkowy nośnik, wówczas zachodzi również odwrotna implikacja: jeśli $(M,d)$ jest zupełna, to $(𝒫(M),\pi )$ jest zupełna. W szczególności jest to sytuacja, gdy $(M,d)$ jest ośrodkowa.
• Jeśli $(M,d)$ jest ośrodkowa i zupełna, wówczas podzbiór $𝒦\subseteq 𝒫(M)$ jest warunkowo zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jego domknięcie względem $\pi$ jest zwarte względem $\pi .$
• Jeśli $(M,d)$ jest ośrodkowa, to $\pi (\mu ,\nu )=\inf \{\alpha (X,Y):P_X=\mu ,P_Y=\nu \},$ gdzie $\alpha (X,Y)=\inf \{\epsilon >0:\mathbb{P}(d(X,Y)>\epsilon )⩽\epsilon \}$ jest metryką Ky Fana, a $P_X$ oznacza rozkład zmiennej losowej $X$Szablon:OdnSzablon:Odn.

Zobacz też

• jędrna rodzina miar
• metryka Radona
• twierdzenie Prochorowa

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę