Funkcje hiperboliczne

Wykres funkcji sinh

Wykres funkcji cosh to krzywa łańcuchowa.

Wykresy funkcji sinus, cosinus i tangens hiperboliczny

Wykresy funkcji cotangens, secans i cosecans hiperboliczny

Funkcje hiperboliczne – zbiór sześciu funkcji zdefiniowanych przez działania arytmetyczne na funkcji wykładniczej:

nazwa	symbole	wzory
sinus hiperboliczny	$\sinh x,\mathrm{sh}x$	$\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
cosinus hiperboliczny	$\cosh x,\mathrm{ch}x$	$\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
tangens hiperboliczny	$\mathrm{tgh}x,\mathrm{th}x$	$\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
cotangens hiperboliczny	$\mathrm{ctgh}x,\mathrm{cth}x$	$\frac{\cosh x}{\sinh x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$
secans hiperboliczny	$\mathrm{sech}x$	$\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}$
cosecans hiperboliczny	$\mathrm{cosech}x$	$\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}$

Funkcje te mogą mieć dziedzinę rzeczywistą lub zespoloną i zalicza się je do funkcji elementarnych. Mają własności analogiczne do funkcji trygonometrycznych. Nazwę swoją zawdzięczają temu, że para liczb (cosh(t),sinh(t)) tworzy wykres hiperboli $x^2-y^2=1$ (jej prawej, dodatniej części).

Przez funkcje hiperboliczne można definiować funkcje polowe, inaczej funkcje area lub areafunkcje – są to funkcje odwrotne tych hiperbolicznych, wyrażane też przez logarytmy.

Dzieje

Do nauki wprowadził je włoski matematyk Vincenzo Riccati, który publikował swoje rozważania w Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinentium, wydawanym między 1757 a 1762 rokiem. Nadał im on nazwy sinus i cosinus hiperbolico i zastosował skróty Sh i Ch, stosowane do dziś w Rosji i we Francji.

Szwajcarski matematyk Johann Heinrich Lambert upowszechnił te funkcje, pokazując ich zastosowanie w trygonometrii w dziele Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques (1762). Lambert zostawił im nazwy zaproponowane przez Riccatiego, ale nadał im skróty sinh i cosh stosowane do dnia dzisiejszego.

Związki trygonometryczne

Szablon:Zobacz też Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych postaci $(\cos x,\sin x)$ jest okręgiem (jednostkowym), analogicznie zbiór punktów o współrzędnych postaci $(\cosh x,\sinh x)$ wyznacza hiperbolę.

Prawdziwe są również wzory:

$\sinh 2t=2\sinh t\cosh t,$

$\cosh 2t={\cosh }^{2}t+{\sinh }^{2}t,$

$\sinh x+\cosh x=e^x.$

Ponadto korzystając ze wzoru Eulera

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

można przedstawić związek funkcji hiperbolicznych z trygonometrycznymi, wyrażony w liczbach zespolonych:

$\sinh ix=i\sin x,$

$\cosh ix=\cos x,$

$\mathrm{tgh}ix=i\mathrm{tg}x,$

$\mathrm{ctgh}ix=-i\mathrm{ctg}x,$

skąd:

$\sinh x=-i\sin ix,$

$\cosh x=\cos ix,$

$\mathrm{tgh}x=-i\mathrm{tg}ix,$

$\mathrm{ctgh}x=i\mathrm{ctg}ix.$

Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe wzdłuż osi liczb rzeczywistych, to funkcje hiperboliczne są okresowe wzdłuż osi liczb urojonych z okresem $2\pi i$ (sinh, cosh, sech, csech), albo $\pi i$ (tgh, ctgh).

Własności

• Sinus hiperboliczny jest funkcją nieparzystą i funkcją rosnącą.
• Cosinus hiperboliczny jest funkcją parzystą i funkcją rosnącą dla $x>0$ i malejącą dla $x<0.$
• Tangens hiperboliczny jest funkcją nieparzystą.

Jeśli $\phi$ oznacza złotą proporcję, to:

• $\sinh \ln \phi =\frac{1}{2},$
• $\cosh \ln \phi =\frac{1}{2}\sqrt{5}.$

Zależności hiperboliczne

Szablon:Osobny artykuł Odpowiednikiem „jedynki trygonometrycznej”

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

jest tzw. „jedynka hiperboliczna”:

${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1.$

Z każdej tożsamości trygonometrycznej można otrzymać tożsamość hiperboliczną przez użycie związku pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi.

Pochodne i całki

${\sinh }^{\prime }x=\cosh x,$

${\cosh }^{\prime }x=\sinh x,$

${\mathrm{tgh}}^{\prime }x=\frac{1}{{\cosh }^{2}x}=1-{\mathrm{tgh}}^{2}x,$

${\mathrm{ctgh}}^{\prime }x=\frac{-1}{{\sinh }^{2}x}=1-{\mathrm{ctgh}}^{2}x.$

Rozwinięcia

Szeregi potęgowe

$\sinh z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}=z+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\frac{z^7}{7!}+\dots ,$

$\cosh z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^6}{6!}+\dots$

Iloczyny nieskończone

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^2}{{\pi }^2{n}^2}),$

$\cosh x=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^2}{{\pi }^2(n-\frac{1}{2}{)}^2}).$

Zobacz też

• złota funkcja

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld
• Szablon:Otwarty dostęp Hyperbolic functions Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].