Czterogradient

Czterogradient (lub 4-gradient) $\mathit{\partial }$ – operator czterowektorowektorowy definiowany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jest odpowiednikiem operatora wektorowego nabla $\mathrm{\nabla }$ definiowanego w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Przyjmując sygnaturę metryki $(+---)$ czasoprzestrzeni, czterogradient można wyrazić za pomocą jego składowych:

a) składowe kowariantne (dolne) 4-gradientu

${\partial }_{\mu }\equiv {}_{,\mu }\equiv \frac{\partial }{\partial x^{\mu }}=({\partial }_0,{\partial }_1,{\partial }_2,{\partial }_3)=({\partial }_0,\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}),$

b) składowe kontrawariantne (górne) 4-gradientu

${\partial }^{\mu }\equiv {}^{,\mu }\equiv \frac{\partial }{\partial x_{\mu }}=({\partial }^0,{\partial }^1,{\partial }^2,{\partial }^3)=({\partial }_0,-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}),$

przy czym:

• ${\partial }_0\equiv \frac{\partial }{\partial x^0},{\partial }_1\equiv \frac{\partial }{\partial x^1}$ itd. – pochodne cząstkowe względem współrzędnych kontrawariantnych $x^0,x^1,x^2,x^3$ 4-wektora położenia $x^{\mu }$
• ${\partial }^0\equiv \frac{\partial }{\partial x_0},{\partial }^1\equiv \frac{\partial }{\partial x_1}$ itd. – pochodne cząstkowe względem współrzędnych kowariantnych $x_0,x_1,x_2,x_3$ 4-wektora położenia $x_{\mu }$

Czterogradient jest używany np. w równaniach szczególnej teorii względności, mechaniki kwantowej czy kwantowej teorii pola. Iloczyn skalarny czterogradientu daje operator d’Alamberta.

Oznaczenia

STW oraz OTW oznaczają skróty od szczególna teoria względności oraz ogólna teoria względności.

$(c)$ oznacza prędkość światła w próżni.

${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}[1,-1,-1,-1]$ – tensor metryczny w płaskiej czasoprzestrzeni.

Jest kilka sposobów zapisu 4-wektorów:

(1) $𝐀\cdot 𝐁$ – pogrubiona czcionka i duże litery oznacza 4-wektory, małe litery dotyczą wektorów o 3 współrzędnych $\overrightarrow{𝐚}\cdot \overrightarrow{𝐛}.$

(2) $A^{\mu }{\eta }_{\mu \nu }{B}^{\nu }$ styl Ricciego, używający notacji tensorowej – użyteczny, gdy w wyrażeniach mamy tensory o większej liczbie indeksów; np. $F^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }.$

Indeks oznaczany literą łacińską przebiega zakres Szablon:Nowrap i służy do zapisu wektorów 3-wymiarowych, np. $A^i=(a^1,a^2,a^3)=\overrightarrow{𝐚}.$

Indeks oznaczany literą grecką przebiega zakres Szablon:Nowrap i służy do zapisu wektorów 3-wymiarowych, np. $A^{\mu }=(a^0,a^1,a^2,a^3)=𝐀.$

W STW typowo używa się mieszanych zapisów, np. $𝐀=(a^0,\overrightarrow{𝐚}),$ gdzie $a^0$ jest współrzędną czasową, $\overrightarrow{𝐚}$ przestawia współrzędne przestrzenne.

Zwięzłe, równoważne zapisy (por. konwencja sumacyjna Einsteina):

$𝐀\cdot 𝐁=A^{\mu }{\eta }_{\mu \nu }{B}^{\nu }=A_{\nu }{B}^{\nu }=A^{\mu }{B}_{\mu }=\sum _{\mu =0}^3{a}^{\mu }{b}_{\mu }=a^0{b}^0-\sum _{i=1}^3{a}^i{b}^i=a^0{b}^0-\overrightarrow{𝐚}\cdot \overrightarrow{𝐛}.$

Definicja

(1) Składowe 4-gradientu kowariantne

$\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}=(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\overrightarrow{\mathrm{\nabla }})=(\frac{{\partial }_t}{c},\overrightarrow{\mathrm{\nabla }})={\partial }_{\mu }={}_{,\mu }.$

Przecinek w ostatnim wyrażeniu ${}_{,\mu }$ oznacza różniczkowanie względem współrzędnych przestrzennych 4-wektora położenia $x^{\mu }.$

(2) Składowe 4-gradientu kontrawariantne

$\mathit{\partial }={\partial }^{\alpha }={\eta }^{\alpha \beta }{\partial }_{\beta }=(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }})=(\frac{{\partial }_t}{c},-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }})=(\frac{{\partial }_t}{c},-{\partial }_x,-{\partial }_y,-{\partial }_z).$

Alternatywne symbole do ${\partial }_{\alpha }$ to: $◻$ oraz D (choć $◻$ może też oznaczać ${\partial }^{\mu }{\partial }_{\mu },$ tj. operator d’Alemberta).

(3) W OTW używa się niediagonalnego tensora metrycznego $g^{\alpha \beta }$ oraz wprowadza się pojęcie pochodnej kowariantnej ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }={}_{;\mu },$ (nie należy mylić jej z wektorem 3-wymiarowym $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$).

Pochodna kowariantna ${\mathrm{\nabla }}_{\nu }$ zawiera 4-gradient ${\partial }_{\nu }$ oraz symbole Christoffela ${\mathrm{\Gamma }}^{\mu }{}_{\sigma \nu }.$

Ogólna zasada względności OTW powoduje, iż:

Prawa fizyki w OTW w zakrzywionej czasoprzestrzeni wyrażone za pomocą wielkości tensorowych muszą mieć taką samą formę jak w STW, przy czym pochodne zwyczajne zamieniają się na pochodne kowariantne (tzw. reguła przecinek → średnik; szczegółowo omawia to artykuł pochodna kowariantna).

a) Np. prawo w STW

$T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0$

przechodzi w OTW w prawo:

$T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0.$

b) Podobnie, dla tensora (1,0) prawo w STW:

${\mathrm{\nabla }}_{\beta }{V}^{\alpha }={\partial }_{\beta }{V}^{\alpha }+V^{\mu }{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\mu \beta }$

przechodzi w OTW w prawo:

$V^{\alpha }{}_{;\beta }=V^{\alpha }{}_{,\beta }+V^{\mu }{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\mu \beta }.$

c) Dla tensora (2,0) prawo w STW:

${\mathrm{\nabla }}_{\nu }{T}^{\mu \nu }={\partial }_{\nu }{T}^{\mu \nu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }{}_{\sigma \nu }{T}^{\sigma \nu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\nu }{}_{\sigma \nu }{T}^{\mu \sigma }$

przechodzi w OTW w prawo:

$T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }{}_{\sigma \nu }{T}^{\sigma \nu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\nu }{}_{\sigma \nu }{T}^{\mu \sigma }.$

Zobacz też

1. Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego

• operator d’Alemberta

2. Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej

• dywergencja
• gradient
• operator Laplace’a
• operator nabla
• operator nabla w różnych układach współrzędnych
• rotacja

Bibliografia

• David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press, 2017.