Operator całkowicie ciągły

Operator całkowicie ciągły (albo operator Dunforda-Pettisa) – operator liniowy $T:X\to Y$ między przestrzeniami Banacha $X$ i $Y$ o tej własności, że dla każdego słabo zbieżnego ciągu $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ elementów przestrzeni $X$ ciąg wartości $(T{x}_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ jest zbieżny w sensie normy przestrzeni $Y.$ Operatorami całkowicie ciągłymi w kontekście przestrzeni ℓ₂ i L₂ zajmował się David Hilbert (każdy operator całkowicie ciągły na przestrzeni Hilberta jest zwarty). Ogólniejsze ujęcie pochodzi od Frigyesa Riesza i Stefana Banacha.

Terminologia

W literaturze dotyczącej teorii operatorów na przestrzeniach Hilberta, przez pojęcie operator całkowicie ciągły niektórzy autorzySzablon:OdnSzablon:Odn rozumieją operator zwarty, tj. operator o tej własności, że obrazy zbiorów ograniczonych są relatywnie zwarte. Dla operatorów działających między przestrzeniami Hilberta pojęcia te są równoważne jednak są one istotnie różne w przypadku operatorów działających między ogólniejszymi przestrzeniami Banacha.

Własności

• Każdy operator całkowicie ciągły jest ograniczony oraz odwzorowuje słabe ciągi Cauchy’ego w ciągi zbieżne w sensie normySzablon:Odn. Istotnie, niech $T:X\to Y$ będzie całkowicie ciągłym operatorem liniowym między przestrzeniami Banacha. Ponadto, niech $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ będzie słabym ciągiem Cauchy’ego w $X,$ który nie jest zbieżny w normie. Istnieją wówczas $\delta >0$ oraz ściśle rosnące ciągi liczb naturalnych $(n_k{)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }},(m_k{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ o tej własności, że dla wszystkich $k$ zachodzi

Z drugiej jednak strony, ciąg $(x_{n_k}-x_{m_k}{)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ jest słabo zbieżny do zera, a więc z założenia o tym, że T jest całkowicie ciągły wynika, że

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert T{x}_{n_k}-T{x}_{m_k}\Vert =0;$

co prowadzi do sprzeczności z Szablon:LinkWzórSzablon:Odn.

• Każdy operator zwarty jest całkowicie ciągłySzablon:Odn. Istotnie, niech $T:X\to Y$ będzie operatorem zwartym między przestrzeniami Banacha. Gdyby $T$ nie był całkowicie ciągły, to istniałby taki słabo zbieżny do zera ciąg $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ w przestrzeni $X,$ że ciąg $(T{x}_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ nie jest zbieżny do zera. Ze zwartości wynika jednak, że ciąg $(T{x}_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ ma podciąg zbieżny do pewnego (niezerowego) elementu $y$ przestrzeni $Y;$ element. Ponieważ ciąg $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ jest słabo zbieżny do zera, ze (słabej) ciągłości $T$ wynika, że również ciąg $(T{x}_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ jest słabo zbieżny do zera. Oznacza to, że $y=0;$ sprzecznośćSzablon:Odn.
• Operator identycznościowy na przestrzeni Banacha jest całkowicie ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń ta ma własność Schura.

Struktura ideału operatorowego

Rodzina $\text{Cc}$ wszystkich operatorów całkowicie ciągłych między dowolnymi przestrzeniami Banacha tworzy ideał operatorowy w sensie Pietscha. W szczególności, rodzina $\text{Cc}(X)$ operatorów całkowicie ciągłych na danej przestrzeni Banacha $X$ tworzy domknięty ideał w algebrze wszystkich operatorów ograniczonych na $X.$

Własność Dunforda-Pettisa

Przestrzeń Banacha $X$ ma własność Dunforda-Pettisa (DPP), gdy dla dowolnej przestrzeni Banacha $Y$ każdy operator słabo zwarty $T:X\to Y$ jest całkowicie ciągły. Żadna nieskończenie wymiarowa przestrzeń refleksywna $X$ nie ma własności Dunforda-Pettisa ponieważ każdy operator ograniczony $T$ na $X$ (w tym identyczność) jest słabo zwarty. Przykładami przestrzeni mającymi własność DPP są przestrzenie ℓ₁, L₁[0,1] oraz przestrzenie $C(K)$ funkcji ciągłych na zwartej przestrzeni Hausdorffa z normą supremum.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę