Twierdzenie Rosenthala o przestrzeniach zawierających l1

Twierdzenie Rosenthala o przestrzeniach zawierających ℓ₁ – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie mówiące, że każdy ciąg ograniczony w przestrzeni Banacha zawiera podciąg, który jest słabym ciągiem Cauchy’ego bądź który jest równoważny z kanoniczną bazą przestrzeni ℓ₁. Twierdzenie opublikowane w 1974 przez Haskella Rosenthala dla rzeczywistych przestrzeni Banacha oraz w 1975 przez Leonarda Dora dla przestrzeni zespolonych.

Omówienie pojęć występujących w wypowiedzi twierdzenia

Słabe ciągi Cauchy’ego

Szablon:Osobny artykuł Ciąg $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ elementów przestrzeni Banacha nazywany jest słabym ciągiem Cauchy’ego gdy dla każdego funkcjonału $f\in X^{*}$ istnieje granica

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }⟨f,x_n⟩$Szablon:Odn.

Każdy ciąg zbieżny w słabej topologii jest słabym ciągiem Cauchy’ego, ale nie odwrotnie. W przestrzeni c₀ ciąg

$x_n=(\underset{n}{\underbrace{1,1,\dots ,1}},0,0,0\dots )(n\in \mathbb{N})$

jest słabym ciągiem Cauchy’ego, gdyż dla każdego elementu $({\xi }_k{)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}\in {\ell }_1\cong c_0^{*}$ zachodzi

$⟨({\xi }_k{)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }},x_n⟩=\sum _{k=1}^n{\xi }_k\to \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\xi }_k,$

gdy $n\to \mathrm{\infty };$ ciąg ten nie jest jednak słabo zbieżnySzablon:Odn.

Ciągi równoważne z bazą kanoniczną ℓ₁

Szablon:Osobny artykuł Dla każdego ograniczonego ciąg $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ elementów przestrzeni Banacha, z nierówności trójkąta wynika, że dla każdego skończonego ciągu skalarów $(c_j{)}_{j=1}^k$ zachodzi

$\Vert \sum _{j=1}^k{c}_j{x}_j\Vert ⩽\sum _{j=1}^k\Vert c_j{x}_j\Vert ⩽\sum _{j=1}^k|c_j|\cdot M,$

gdzie:

$M=\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\Vert x_n\Vert .$

Ciąg $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ jest równoważny z kanoniczną bazą przestrzeni ${\ell }_1,$ gdy istnieje takie $\delta >0,$ że dla każdego skończonego ciągu skalarów $(c_j{)}_{j=1}^k$ zachodzi także nierówność

$\Vert \sum _{j=1}^k{c}_j{x}_j\Vert ⩾\sum _{j=1}^k|c_j|\cdot \delta$Szablon:Odn.

Baza kanoniczna

$e_n=(0,0,0,\dots ,\underset{n}{\underbrace{1}},0,0,0\dots )(n\in \mathbb{N})$

przestrzeni ${\ell }_1$ (ani żaden inny ciąg jej równoważny) nie jest słabym ciągiem Cauchy’ego ponieważ dla każdego ciągu $({\xi }_k{)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}\in {\ell }_{\mathrm{\infty }}\in {\ell }_1^{*},$ który nie jest zbieżny ciąg

$⟨({\xi }_k{)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }},e_n⟩={\xi }_n$

nie ma granicySzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę