Twierdzenie Banacha-Alaoglu

Twierdzenie Banacha-Alaoglu (także twierdzenie AlaogluSzablon:Odn, twierdzenie Banacha-Alaoglu-Bourbakiego lub twierdzenie Alaoglu-Bourbakiego) – w analizie funkcjonalnej twierdzenie mówiące, że domknięta kula jednostkowa w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej jest zwarta w *-słabej topologii; bądź ogólniej, zbiór polarny otoczenia zera przestrzeni liniowo-topologicznej jest *-słabo zwarty.

Nazwa twierdzenia honoruje polskiego matematyka Stefana Banacha, który opublikował jego szczególny przypadek (dla ośrodkowych przestrzeni unormowanych) w 1932 roku oraz kanadyjskiego matematyka Leonidasa Alaoglu, który opublikował w 1940 roku pierwszy dowód przypadku ogólnegoSzablon:OdnSzablon:Odn.

Twierdzenie Banacha-Alaoglu

Najczęściej stosowaną wersją twierdzenia Banacha-Alaoglu jest ta dotycząca zwartości kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej.

Dla przestrzeni unormowanych

Niech $X$ będzie przestrzenią unormowaną. Wówczas kula jednostkowa w przestrzeni $X^{*},$ tj. zbiór

$B_{X^{*}}=\{f\in X^{*}:\Vert f\Vert ⩽1\},$

jest zwarta w *-słabej topologii przestrzeni $X^{*}.$

Wersja ta jest bezpośrednią konsekwencją następującej wersji twierdzenia dla przestrzeni liniowo-topologicznych z uwagi na to, że norma w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej wyraża się wzorem:

$\Vert f\Vert =\sup \{|⟨f,x⟩|:x\in B_X\},$

tj.

$(B_X{)}^{\circ }=B_{X^{*}}$

w sensie notacji wprowadzonej niżej.

Dla przestrzeni liniowo-topologicznych

Niech $X$ będzie przestrzenią liniowo-topologiczną oraz niech $U$ będzie otoczeniem zera w $X.$ Wówczas zbiór

$U^{\circ }=\{f\in X^{\star }:|⟨f,x⟩|⩽1,x\in U\}$

jest zwarty w *-słabej topologii $X^{*}.$

DowódSzablon:Odn. Dla każdego $f\in U^{\circ },$ obraz $f(U)$ zawiera się w kole domkniętym

$D=\{z\in ℂ:|z|⩽1\}.$

Każdemu funkcjonałowi $f\in U^{\circ }$ odpowiada zatem punkt $\psi (f)$ przestrzeni produktowej $G=D^U,$ która jest zwarta na mocy twierdzenia Tichonowa. Ponieważ *-słaba topologia w $U^{\circ }$ jest topologią zbieżności punktowej na $U,$ wystarczy pokazać, że zbiór punktów $G$ odpowiadających funkcjonałom z $U^{\circ },$ tj. zbiór $\psi (U^{\circ }),$ jest domknięty. (Istotnie, domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty).

Niech $(f_{\gamma })$ będzie siecią elementów z $U^{\circ }$ o tej własności, że sieć $\psi (f_{\gamma })$ jest zbieżna punktowo do pewnego $F\in G.$ Jeżeli $x,y$ są takimi elementami $U$ oraz $a,b$ są takimi skalarami, że $ax+by\in U,$ to

$\begin{array}{cc}F(ax+by)& =\underset{\gamma }{\lim }\psi (f_{\gamma })(ax+by)\\ & =\underset{\gamma }{\lim }⟨f_{\gamma },ax+by⟩\\ & =\underset{\gamma }{\lim }(a⟨f_{\gamma },x⟩+b⟨f_{\gamma },y⟩)\\ & =aF(x)+bF(y).\end{array}$

Oznacza to, że $F$ odpowiada funkcjonałowi $f$ z $U^{\circ },$ tj. $F=\psi (f),$ co dowodzi domkniętości zbioru $\psi (U^{\circ })$ w $G.$

Twierdzenie Alaoglu-Bourbakiego

Istnieje również następująca abstrakcyjna wersja twierdzenia, nazywana czasem twierdzeniem Alaoglu-BourbakiegoSzablon:Odn.

Niech $(X,Y)$ będzie parą dualną przestrzeni liniowo-topologicznych. Wówczas każdy podzbiór $Y$ złożony z $X$-równociągłych elementów jest relatywnie zwarty w topologii $\sigma (Y,X).$

Twierdzenie Banacha-Alaoglu a aksjomat wyboru

Przedstawiony wyżej dowód opiera się o twierdzenie Tichonowa, a więc wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru. Halpern i Levy udowodnili, że na gruncie teorii ZF następujące zdania są równoważne:

• twierdzenie Banacha-Alaoglu,
• BPI: każdy filtr w algebrze Boole’a jest zwarty w ultrafiltrze,
• twierdzenie Tichonowa dla zwartych przestrzeni Hausdorffa,
• produkt dowolnej rodziny kopii przedziału $[0,1]$ jest zwarty.

W szczególności, nie można zrezygnować z pewnej formy aksjomatu wyboru w dowodzie twierdzenia Banacha-Alaoglu, ale pełna siła tego aksjomatu nie jest wymagana.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę