Proces Wienera

Pojedyncza trajektoria (jednowymiarowego) procesu Wienera

Proces Wienera (ruch Browna) – proces stochastyczny z czasem ciągłym nazwany dla uhonorowania osiągnięć Norberta Wienera. Jest też często nazywany ruchem Browna, gdyż jest modelem matematycznym procesu fizycznego o tej nazwie, który po raz pierwszy zaobserwował botanik Robert Brown. Proces Wienera jest najbardziej znanym przykładem procesu gaussowskiego, a ponadto jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego procesu Lévy’ego. Proces Wienera nierzadko opisuje zjawiska występujące w ekonomii, finansach czy fizyce.

W matematyce, badania nad procesem Wienera zapoczątkowały rozwój teorii martyngałów z czasem ciągłym. Proces odgrywa kluczową rolę w badaniach bardziej skomplikowanych procesów, np. procesów będących rozwiązaniami stochastycznych równań różniczkowych jak procesy dyfuzji. W matematyce stosowanej procesu Wienera używa się m.in. do wyznaczenia całki stochastycznej z tzw. białego szumu oraz do modelowania innych szumów (zob. szum czerwony).

W fizyce proces Wienera służy do modelowania ruchów cząsteczek w zawiesistej cieczy oraz różnych procesów dyfuzyjnych (zob. równanie Fokkera-Plancka oraz równanie Langevina). Rozwiązanie równania Schrödingera wyraża się poprzez proces Wienera (zob. wzór Feynmana-Kaca). W finansach, procesu Wienera używa się do wyznaczenia modelu Blacka-Scholesa wyceny opcji europejskich.

Definicja

Proces stochastyczny $(W_t{)}_{t⩾0}$ na przestrzeni probabilistycznej $(\mathrm{\Omega },ℱ,𝖯)$ nazywa się (standardowym) procesem Wienera, gdy spełnia następujące warunki:

1. $W_0=0$ prawie na pewno,
2. proces ten ma przyrosty niezależne, tj. dla wszelkich $0⩽t_1<t_2<\dots <t_k$ zmienne losowe

$W_{t_1},W_{t_2}-W_{t_1},W_{t_3}-W_{t_2},\dots ,W_{t_k}-W_{t_{k-1}}$

są niezależne,

3. $W_t-W_s\sim 𝒩(0,t-s)$ dla wszelkich $0⩽s⩽t,$ tj. różnica procesu Wienera w dwóch dowolnych chwilach ma rozkład normalny o średniej równej zeru i wariancji równej odległości czasowej rozważanych chwil,

4. trajektorie procesu są ciągłe prawie na pewno, tzn. istnieje taki zbiór $A\in ℱ,$ że $𝖯(A)=1$ oraz dla wszelkich $\omega \in A$ funkcja $t\mapsto W_t(\omega )$ jest ciągła.

Niektórzy autorzy zakładają, że $W_0=0$ oraz że wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłeSzablon:Odn.

Twierdzenia

Twierdzenie 1: Proces Wienera jest procesem gaussowskim, tj. dla wszelkich $0⩽t_1<t_2<\dots <t_k$ wektor losowy

$(W_{t_1},W_{t_2},\dots ,W_{t_k})$

ma (wielowymiarowy) rozkład normalny.

Nie wszystkie procesy gaussowskie są procesami Wienera. Warunki konieczne do tego określa poniższe twierdzenie. Twierdzenie 2: Proces gaussowski $(X_t{)}_{t⩾0}$ jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy

a. prawie wszystkie jego trajektorie są ciągłe,

b. $𝖤X_t=0$ dla wszelkich $t⩾0$

c. $𝖢𝗈𝗏(X_s,X_t)=\min \{s,t\}$ dla wszelkich $s,t⩾0$Szablon:Odn.

Dowód:

By udowodnić, że proces gaussowski spełniający warunki a.-c. jest procesem Wienera należy zauważyć, że $𝖵𝖺𝗋X_0=0=𝖤X_0,$ tj. $X_0=0$ p.n., co dowodzi warunku 1. Następnie, dla $t>s,$ zmienna losowa $X_t-X_s$ ma rozkład normalny ze średnią 0 i wariancją

$𝖵𝖺𝗋(X_t-X_s)=𝖵𝖺𝗋(X_t)+𝖵𝖺𝗋(X_s)-2\cdot 𝖢𝗈𝗏(X_t,X_s)=t-s,$

co dowodzi warunku 3. By wykazać warunek 2., z gaussowskości rozkładu wynika, że dla wszelkich $0⩽t_1<t_2<\dots <t_k$ zmienne

$X_{t_1},X_{t_2}-X_{t_1},X_{t_3}-X_{t_2},\dots ,X_{t_k}-X_{t_{k-1}}$

są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy są nieskorelowane (tj. kowariancja każdej ich pary wynosi 0). Mamy jednak dla $0⩽s_1⩽s_2⩽s_3⩽s_4$

$𝖢𝗈𝗏(X_{s_1},X_{s_3}-X_{s_2})=𝖢𝗈𝗏(X_{s_1},X_{s_3})-𝖢𝗈𝗏(X_{s_1},X_{s_2})=\min \{s_1,s_3\}-\min \{s_1,s_2\}=s_1-s_1=0,$

oraz

$𝖢𝗈𝗏(X_{s_2}-X_{s_1},X_{s_4}-X_{s_3})=𝖢𝗈𝗏(X_{s_2},X_{s_4}-X_{s_3})-𝖢𝗈𝗏(X_{s_1},X_{s_4}-X_{s_3})=0,$

co kończy dowódSzablon:Odn.

Twierdzenie 3: Proces Wienera spełnia powyższe warunki a.-c.

Dowód:

Rzeczywiście, jeżeli $(W_t{)}_{t⩾0}$ jest procesem Wienera, to.

$𝖤W_t=𝖤(W_t-W_0)=0,$

z uwagi na to, że $W_0=0$ p.n. (warunek 1.) oraz zmienna $W_t-W_0$ ma rozkład normalny $𝒩(0,t)$ (warunek 3.). Z niezależności rozkładów, tj. warunku 2., wynika, że dla $0⩽s<t$ zachodzi

$𝖢𝗈𝗏(W_s,W_t)=𝖢𝗈𝗏(W_t-W_s,W_t)+𝖵𝖺𝗋W_s=0+s$Szablon:Odn.

Proces Wienera można scharakteryzować poprzez stacjonarność przyrostów i skończoność czwartych momentów, o czym mówi poniższe twierdzenie.

Twierdzenie 4: Proces stochastyczny $(X_t{)}_{t⩾0}$ jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki 1., 2. i 4. podane w definicji procesu Wienera oraz

3a. przyrosty procesu $(X_t{)}_{t⩾0}$ są stacjonarne, tj. dla wszelkich $0⩽s<t$ zmienne $X_t-X_s$ oraz $X_{t-s}-X_0$ mają te same rozkłady,

3b. $𝖤X_0=0,𝖵𝖺𝗋X_0=1,$

3c. $𝖤X_t^4<\mathrm{\infty }$ dla wszelkich $t>0$Szablon:Odn.

Własności

Proces Wienera jest jednym z najlepiej zbadanych procesów stochastycznych. Oto niektóre z jego własności:

• Cechy trajektorii – zgodnie z definicją (prawie wszystkie) trajektorie procesu Wienera są ciągłe, ponadto można dowieść, że spełniają one warunek Höldera z dowolnym wykładnikiem mniejszym od $1/2$. Nie przejawiają innych regularności. Dowodzi się, że prawie każda trajektoria ma wahanie nieskończone (na każdym przedziale)Szablon:Odn, oraz że jest nieróżniczkowalna (w każdym punkcie czasu)Szablon:Odn.
• Proces Wienera ma mocną własność Markowa.
• Prawo odbicia procesu Wienera – po dojściu do pewnego poziomu trajektoria procesu Wienera z równym prawdopodobieństwem może pójść w dół, jak i do góry. Ściśle, prawo to można opisać za pomocą wzoru

  $𝖯(\underset{0⩽s⩽t}{\sup }{W}_s>a)=2𝖯(W_t>a)$

• Prawo iterowanego logarytmu opisuje asymptotyczne zachowanie się trajektorii (dzięki zastosowaniu inwersji możliwe jest też badanie trajektorii w otoczeniu 0).

  $𝖯(\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{W_t}{\sqrt{2t\log \log t}}=1)=1$

Operacje zachowujące własności procesu Wienera

Niech $(W_t{)}_{t⩾0}$ będzie procesem Wienera. Wówczas każdy ze zdefiniowanych niżej procesów jest również procesem Wienera

• $-W_t$ (odbity proces Wienera),
• $\frac{1}{\sqrt{c}}{W}_{ct}$ (proces Wienera o czasie przeskalowanym przez pewne $c>0$),
• $0$ dla $t=0$ oraz $t{W}_{1/t}$ dla $t>0$ (inwersja czasu w procesie Wienera),
• $W_t$ dla $t⩽T$ oraz $2W_T-W_t$ dla $t>T$ (dla dowolnego $T>0$)Szablon:Odn; zob. prawo odbicia procesu Wienera.

Konstrukcja procesu Wienera

Nie jest rzeczą oczywistą, że istnieje proces spełniający warunki podane w definicji. Istnieje kilka dowodów tego faktu. Przedstawiony poniżej szkic dowodu najbardziej odpowiada intuicyjnemu rozumieniu procesu jako modelu ruchu Browna. Niech dana będzie cząstka poruszającą się w jednym wymiarze. W każdej jednostce czasu cząstka przemieszcza się o jednostkę odległości albo w lewo albo w prawo z prawdopodobieństwem 1/2. Kierunek poruszania nie zależy od poprzedniego przebiegu ruchu. Odpowiada to sytuacji patrzenia na cząsteczkę w wielkim zbliżeniu i przy zwolnionym czasie. Zmniejszając odpowiednio jednostkę odległości i przyspieszając czas uzyskujemy obraz cząstki wykonującej ruch chaotyczny. Innymi słowy proces Wienera jest „procesem granicznym” dla błądzenia losowego, przy zmniejszaniu skali czasowej i przestrzennej. W sposób ścisły powyższe rozumowanie ujmuje twierdzenie Donskera.

Miara procesu Wienera

Proces Wienera $(W_t{)}_{t⩾0},$ jak każdy proces stochastyczny, wyznacza miarę $\mu$ na przestrzeni ${ℝ}^{[0,\mathrm{\infty })}$ z σ-ciałem zbiorów cylindrycznych $\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}{ℝ}^{[0,\mathrm{\infty })}$ poprzez warunek

$\mu (C)=𝖯((W_t{)}_{t⩾0}\in C)(C\in \mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{l}{ℝ}^{[0,\mathrm{\infty })}).$

W przypadku, gdy wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłe (co zawsze można osiągnąć dokonując modyfikacji procesu) miarę $\mu$ można wyznaczyć ze wzoru

$\mu (C)=𝖯((W_t{)}_{t⩾0}\in C)$

gdzie $C$ jest dowolnym borelowskim podzbiorem przestrzeni $C[0,\mathrm{\infty })$ funkcji ciągłych na $[0,\mathrm{\infty })$ z topologią zbieżności niemal jednostajnej (tj. zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych). Stąd o procesie Wienera można myśleć jako o pewnym rozkładzie probabilistycznym na przestrzeni $C[0,\mathrm{\infty })$Szablon:Odn.

Proces wielowymiarowy

Standardowy proces Wienera opisany powyżej opisuje błądzenie cząstki, której ruch ograniczony jest do prostej. Proces $n$-wymiarowy definiuje się jako proces

$W=(W_1,W_2,\dots ,W_n),$

gdzie $W_i$ to niezależne od siebie jednowymiarowe procesy Wienera. W przypadku jednowymiarowym prawie każda trajektoria przechodzi przez każdy punkt prostej. Dla procesu dwuwymiarowego prawie każda trajektoria jest gęsta na płaszczyźnie, natomiast dla procesów w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów, każda trajektoria jest zbiorem nigdziegęstym.

Zobacz też

• Błądzenie losowe

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę.