Własność Markowa

Własność Markowa – własność procesów stochastycznych polegająca na tym, że warunkowe rozkłady prawdopodobieństwa przyszłych stanów procesu są zdeterminowane wyłącznie przez jego bieżący stan, bez względu na przeszłość. Ściślej: przyszłe stany procesu są warunkowo niezależne od stanów przeszłych.

Procesy stochastyczne, które posiadają własność Markowa, nazywamy procesami Markowa. Typowym przykładem w fizyce jest proces opisujący ruchy Browna.

W procesach z czasem ciągłym

Dla procesów z czasem ciągłym, jeżeli $X(t),t>0$ jest procesem stochastycznym, własność Markowa oznacza, że

$\mathrm{\forall }h>0\mathrm{P}\mathrm{r}[X(t+h)⩽y|\mathrm{\forall }s⩽tX(s)=x(s)]=\mathrm{P}\mathrm{r}[X(t+h)⩽y|X(t)=x(t)].$

Procesy Markowa są nazywane jednorodnymi, jeśli prawdopodobieństwa nie zależą od $t$ (więc dla każdego $t$ pozostają te same):

$\mathrm{\forall }t,h>0\mathrm{P}\mathrm{r}[X(t+h)⩽y|X(t)=x]=\mathrm{P}\mathrm{r}[X(h)⩽y|X(0)=x],$

a w przeciwnym wypadku niejednorodnymi.

Jednorodne procesy Markowa, zwykle prostsze niż niejednorodne, są najważniejszą klasą procesów Markowa.

W procesach z czasem dyskretnym

Dla dyskretnych procesów Markowa (tzw. łańcuchów Markowa):

$P(X_{n+1}⩽y|X_0,X_1,X_2,\dots ,X_n)=P(X_{n+1}⩽y|X_n).$

Analogicznie do procesów z czasem ciągłym, łańcuchy Markowa są nazywane jednorodnymi, jeśli prawdopodobieństwa nie zależą od indeksu stanu $n:$

$P(X_{n+1}⩽y|X_n)=P(X_1⩽y|X_0).$

Mocna własność Markowa

Mocna własność Markowa oznacza, że powyższe równania są spełnione nie tylko dla dowolnego ustalonego czasu $t$ (albo w przypadku dyskretnym dla ustalonego $n$), lecz dla czasu będącego zmienną losową zależną od przeszłości procesu. Mocna własność Markowa implikuje własność Markowa, odwrotna implikacja jednak nie zachodzi.

Zobacz też

• łańcuch Markowa
• Andriej Markow