Równanie Langevina

Równanie Langevina – stochastyczne równanie różniczkowe bazujące na równaniu Newtona. Zaproponowane zostało po raz pierwszy w 1906 roku przez Paula Langevina do opisu ruchów Browna.

Jego najprostsza postać to

$m\frac{{\mathrm{d}}^2𝐱(t)}{\mathrm{d}{t}^2}=-\gamma \frac{\mathrm{d}𝐱}{\mathrm{d}t}+F(x,t)+\mathrm{\Gamma }(t),$

gdzie: $𝐱(t)$ - trajektoria danej cząstki, $m$ - masa cząstki, $\gamma$ - współczynnik siły tarcia działającej na cząstkę, $F(x,t)$ - deterministyczna siła zewnętrzna, działająca na cząstkę, $\mathrm{\Gamma }(t)$ - losowa siła, powstała na skutek przypadkowych zderzeń cząstki z cząstkami otoczenia; zazwyczaj przyjmuje się, że $\mathrm{\Gamma }(t)$ ma postać białego szumu.

Wiele ciekawych wyników można otrzymać bez konieczności rozwiązywania powyższego równania, opierając się na twierdzeniu fluktuacyjno-dysypacyjnym. Wartości średnie (np: prędkości) można otrzymać rozwiązując odpowiednie równanie Fokkera-Plancka opisujące ewolucję czasową gęstości prawdopodobieństwa.

Gdy nie są znane metody analityczne, to znajduje się rozwiązania numeryczne, np. za pomocą metod Monte-Carlo.

Zobacz też

• Metoda Eulera-Maruyamy

Bibliografia

• C. W. Gardiner (2004). Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences. Springer. p. 415.
• Thomas Mikosch (1998). Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View. Singapore: World Scientific Publishing. p. 212. ISBN 981-02-3543-7.
• Desmond Higham and Peter Kloeden, An Introduction to the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations, SIAM, Szablon:ISBN (2021).

Linki zewnętrzne

• Rafał Latała, Wstęp do Analizy Stochastycznej, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW, 2009-2010.
• Jerzy Łuczka, Równania stochastyczne i ich interpretacja, w: PROCESY I ZJAWISKA LOSOWE, skrypt UŚ.