Prawo odbicia procesu Wienera

Czarna krzywa przedstawia symulację procesu Wienera. Gdy krzywa ta osiąga wartość a = 50 w punkcie t ≃ 3000, zarówno wyjściowy proces, jak i jego odbicie oznaczone na czerwono mają ten sam rozkład

Prawo odbicia procesu Wienera – twierdzenie mówiące, że jeżeli trajektoria procesu Wienera $f(t)$ osiąga wartość $f(s)=a$ w chwili $t=s,$ to $2\cdot a-f(t)(t>a)$ jest również trajektorią pewnej realizacji procesu WieneraSzablon:Odn. Prawo odbicia można wyprowadzić z mocnej własności Markowa procesu Wienera.

Twierdzenie

Niech $(W_t{)}_{t⩾0}$ będzie procesem Wienera (rozpoczynającym od 0) oraz niech $a>0.$ Wówczas prawo odbicia w swej podstawowej wersji orzeka, że

$𝖯(\underset{0⩽s⩽t}{\sup }{W}_s⩾a)=2𝖯(W_t⩾a).$

W ogólniejszej wersji, prawo odbicia orzeka, że jeżeli $\tau$ jest skończonym prawie na pewno momentem zatrzymania procesu Wienera rozpoczynającego od 0, to proces $(W_t^{\tau }{)}_{t⩾0}$ określony wzorem

$W_t^{\tau }=W_t{\mathrm{𝟏}}_{\{t⩽\tau \}}+(2W_{\tau }-W_t){\mathrm{𝟏}}_{\{t>\tau \}}$

jest również procesem Wienera, gdzie $\mathrm{𝟏}$ oznacza funkcję charakterystyczną zbioruSzablon:Odn.

Podstawowa wersja prawa odbicia wynika z podanej wyżej poprzez rozważenie momentu zatrzymania

$\tau =\inf \{t⩾0:W_t=a\}.$

Dowód podstawowej wersji prawa odbicia

Moment zatrzymania

${\tau }_a=\inf \{t⩾0:W_t=a\}.$

jest prawie na pewno ograniczony. Z mocnej własności Markowa wynika, że relatywna trajektoria względem momentu ${\tau }_a:$

$X_t:=W_{t+{\tau }_a}-a,$

jest również procesem Wienera, niezależnym od σ-ciała ${ℱ}_{{\tau }_a}^W.$ Wówczas

$\begin{array}{cc}𝖯(\underset{0⩽s⩽t}{\sup }{W}_s⩾a)& =𝖯(\underset{0⩽s⩽t}{\sup }{W}_s⩾a,W_t⩾a)+𝖯(\underset{0⩽s⩽t}{\sup }{W}_s⩾a,W_t<a)\\ & =𝖯(W_t⩾a)+𝖯(\underset{0⩽s⩽t}{\sup }{W}_s⩾a,X_{t-{\tau }_a}<0).\end{array}$

Z odpowiednich własności warunkowej wartości oczekiwanej wynika, że drugi składnik prawej strony powyższej równości wynosi

$\begin{array}{cc}𝖯(\underset{0⩽s⩽t}{\sup }{W}_s⩾a,X_{t-{\tau }_a}<0)& =𝖤\left[𝖯(\underset{0⩽s⩽t}{\sup }{W}_s⩾a,X_{t-{\tau }_a}<0|{ℱ}_{{\tau }_a}^W)\right]\\ & =𝖤\left[{\mathrm{𝟏}}_{\{\underset{0⩽s⩽t}{\sup }{W}_s⩾a\}}𝖯(X_{t-{\tau }_a}<0|{ℱ}_{{\tau }_a}^W)\right]\\ & =𝖤\left[{\mathrm{𝟏}}_{\{\underset{0⩽s⩽t}{\sup }{W}_s⩾a\}}𝖯(X_{t-{\tau }_a}<0)\right]\\ & =\frac{1}{2}𝖯(\underset{0⩽s⩽t}{\sup }{W}_s⩾a),\end{array}$

ponieważ $(X_t{)}_{t⩾0}$ jest procesem Wienera niezależnym od ${ℱ}_{{\tau }_a}^W,$ a prawdopodobieństwo przyjęcia wartości ujemnych przez każdą ze zmiennych $X_t$ wynosi $1/2$ z uwagi na ich symetrię. Ostatecznie, z otrzymanych zależności otrzymujemy

$\begin{array}{cc}𝖯(\underset{0⩽s⩽t}{\sup }{W}_s⩾a)& =𝖯(W_t⩾a)+\frac{1}{2}𝖯(\underset{0⩽s⩽t}{\sup }W(s)⩾a),\\ 𝖯(\underset{0⩽s⩽t}{\sup }{W}_s⩾a)& =2𝖯(W_t⩾a).\end{array}$

Bibliografia

• Kurt Jacobs, Stochastic Processes for Physicists: Understanding Noisy Systems, Cambridge University Press, 2010. Szablon:ISBN.
• Peter Mörters, Yuval Peres, Brownian Motion, Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics, Cambridge University Press, 2010. Szablon:ISBN.