Całka powierzchniowa

Całka powierzchniowa – całka, w której obszarem całkowania jest płat powierzchni.

Całka niezorientowana

Inne nazwy to całka powierzchniowa funkcji skalarnej i całka powierzchniowa pierwszego rodzaju.

Definicja formalna

Niech funkcja rzeczywista $f:S\to ℝ,$ określona na powierzchni $S\subset {ℝ}^3,$ będzie ciągła. Poprzez $D$ oznaczamy rzut powierzchni $S$ na płaszczyznę $XY.$ Dzielimy $D$ na podobszary $\mathrm{\Delta }{\delta }_1,\mathrm{\Delta }{\delta }_2,\dots ,\mathrm{\Delta }{\delta }_n,$ gdzie $\mathrm{\Delta }{\delta }_i\cap \mathrm{\Delta }{\delta }_j=\mathrm{\varnothing }$ dla każdego $i=j.$ Oznaczmy przez $P$ ten konkretny podział.

Oznaczamy przez $\mathrm{\Delta }{S}_i$ tę część powierzchni $S,$ której rzutem na płaszczyznę $XY$ jest $\mathrm{\Delta }{\delta }_i.$ Niech $|\mathrm{\Delta }{\delta }_i|$ oznacza pole powierzchni $\mathrm{\Delta }{\delta }_i,$ a $|\mathrm{\Delta }{S}_i|$ pole powierzchni $\mathrm{\Delta }{S}_i$. Na każdym $\mathrm{\Delta }{S}_i$ obieramy dowolny punkt $p_i=(x_i,y_i,z_i)\in \mathrm{\Delta }{S}_i.$ Rzutem $p_i$ na $XY$ jest $(x_i,y_i,0)\in \mathrm{\Delta }{\delta }_i.$

Tworzymy sumę $\sigma (P)=\sum _{i=1}^{n}f(p_i)|\mathrm{\Delta }{S}_i|.$ Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów $P,$ żeby największa ze średnic $\mathrm{\Delta }{S}_i$ dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich $p_i$ ciąg sum $\sigma (P)$ dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem

$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)dS$

i nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną.

Obliczanie

Płat dany jawnie

Jeśli płat dany równaniem $z=\phi (x,y),$ gdzie funkcja $\phi (x,y)$ jest klasy $C^1$ w $D,$ to

$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{D}{\iint }f(x,y,\phi (x,y))\sqrt{1+{\left(\frac{\partial \phi }{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}^2}dxdy.$

Płat dany parametrycznie

Niech płat dany jest równaniami $x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)$ i ponadto zachodzą następujące warunki:

• funkcje $x(u,v),y(u,v),z(u,v)$ są klasy $C^1$ w $D;$
• $D$ jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką;
• różnym punktom wnętrza $S$ odpowiadają różne punkty $D;$
• wyrażenie $H={\left|\begin{array}{cc}{x}_u& y_u\\ x_v& y_v\end{array}\right|}^2+{\left|\begin{array}{cc}{y}_u& z_u\\ y_v& z_v\end{array}\right|}^2+{\left|\begin{array}{cc}{z}_u& x_u\\ z_v& x_v\end{array}\right|}^2$ jest różne od zera wewnątrz $D.$

Wtedy

$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{D}{\iint }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{H}dudv.$

Uwaga. Wyrażenie $H$ jest sumą kwadratów minorów wziętych z macierzy Jakobiego$\frac{D(x,y,z)}{D(u,v)}=\left[\begin{array}{ccc}{x}_u& y_u& z_u\\ x_v& y_v& z_v\end{array}\right].$

Przykłady zastosowania

Jeżeli funkcja $f(x,y,z)$ wyraża gęstość materialnego płata $S$ w punkcie $(x,y,z),$ to masa całego tego płata jest równa $\underset{S}{\iint }f(x,y,z)dS.$

Pole powierzchni płata $S$ jest równe $\underset{S}{\iint }dS.$

Całka zorientowana

Inne nazwy to całka powierzchniowa składowej normalnej wektora, strumień wektora przez powierzchnię, całka powierzchniowa drugiego rodzaju.

Definicja

Niech funkcja wektorowa $F:S\to {ℝ}^3,$ określona na powierzchni $S\subset {ℝ}^3,$ będzie ciągła.

Poprzez $D$ oznaczamy rzut powierzchni $S$ na płaszczyznę $XY.$

$D$ dzielimy na podobszary $\mathrm{\Delta }{\delta }_1,\mathrm{\Delta }{\delta }_2,\dots ,\mathrm{\Delta }{\delta }_n,$ takie że $\mathrm{\Delta }{\delta }_i\cap \mathrm{\Delta }{\delta }_j=\mathrm{\varnothing }$ dla każdego $i=j.$ Poprzez $P$ oznaczamy ten konkretny podział. Przez $\mathrm{\Delta }{S}_i$ oznaczamy tę część powierzchni $S,$ której rzutem na płaszczyznę $XY$ jest $\mathrm{\Delta }{\delta }_i,$ a przez $|\mathrm{\Delta }{S}_i|$ oznaczamy pole powierzchni $\mathrm{\Delta }{S}_i.$

Na każdym $\mathrm{\Delta }{S}_i$ obieramy dowolny punkt $p_i=(x_1,y_i,z_i)\in \mathrm{\Delta }{S}_i.$ Rzutem $p_i$ na $XY$ jest $(x_i,y_i,0)\in \mathrm{\Delta }{\delta }_i.$

Tworzymy sumę $\sigma (P)=\sum _{i=1}^n{F}_N(p_i)|\mathrm{\Delta }{S}_i|,$ gdzie $F_N(p_i)$ jest składową wektora $F(p_i)=(X(p_i),Y(p_i),Z(p_i))$ normalną do $\mathrm{\Delta }{S}_i.$

Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów $P,$ żeby największa ze średnic $\mathrm{\Delta }{S}_i$ dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich $p_i$ ciąg sum $\sigma (P)$ dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem

$\underset{S}{\iint }X(x,y,z)dydz+Y(x,y,z)dzdx+Z(x,y,z)dxdy,$

lub

$\underset{S}{\iint }Xdydz+Ydzdx+Zdxdy$

i nazywamy całką powierzchniową zorientowaną. Niekiedy używa się również oznaczenia $\underset{S}{\iint }𝐅\cdot d𝐒,$ $\underset{S}{\iint }\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{S}$ lub podobnego.

Związek całki skierowanej z nieskierowaną jest następujący:

$\underset{S}{\iint }(Xdydz+Ydzdx+Zdxdy)=\underset{S}{\iint }(X\cos \alpha +Y\cos \beta +Z\cos \gamma )dS,$ gdzie $\alpha ,\beta ,\gamma$

to kąty pomiędzy wektorem normalnym do powierzchni S w punkcie $(x,y,z),$ a osiami układu współrzędnych.

Obliczanie

Płat dany jawnie

Niech płat jest zadany równaniem $z=\phi (x,y),$ gdzie funkcja $\phi$ jest klasy $C^1$ w $D.$ I niech $𝐍=[-{\phi }_x,-{\phi }_y,1]$ jest wektorem normalnym do $S$ skierowanym zgodnie z osią $OZ.$ Wtedy

$\underset{S}{\iint }𝐅(x,y,z)d𝐒=\epsilon \underset{D}{\iint }𝐅(x,y,\phi (x,y))𝐍dxdy=$

$=\epsilon \underset{D}{\iint }(-X(x,y,\phi (x,y)){\phi }_x-Y(x,y,\phi (x,y)){\phi }_Y+Z(x,y,\phi (x,y)))dxdy,$

gdzie $\epsilon =+1,$ jeśli płat $S$ jest zorientowany zgodnie z osią $OZ,$ i $\epsilon =-1,$ jeśli jest zorientowany przeciwnie.

Płat dany parametrycznie

Niech płat dany jest równaniami $x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),$ gdzie wszystkie te funkcje są klasy $C^1$ w $D.$ I niech ponadto zachodzą następujące warunki:

• $D$ jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką;
• różnym punktom wnętrza $S$ odpowiadają różne punkty $D;$
• wyrażenie $H=|𝐡{|}^2={\left|\begin{array}{cc}{x}_u& y_u\\ x_v& y_v\end{array}\right|}^2+{\left|\begin{array}{cc}{y}_u& z_u\\ y_v& z_v\end{array}\right|}^2+{\left|\begin{array}{cc}{z}_u& x_u\\ z_v& x_v\end{array}\right|}^2$ jest różne od zera wewnątrz $D$ (jest to suma kwadratów minorów macierzy jakobianowej $\frac{D(x,y,z)}{D(u,v)}=\left[\begin{array}{ccc}{x}_u& y_u& z_u\\ x_v& y_v& z_v\end{array}\right]$).

Wtedy:

$\underset{S}{\iint }𝐅(x,y,z)d𝐒=\epsilon \underset{D}{\iint }𝐅(x,y,z)\cdot 𝐡dudv,$

gdzie:

$𝐡=[x_u,y_u,z_u]\times [x_v,y_v,z_v]=[\left|\begin{array}{cc}{y}_u& z_u\\ y_v& z_v\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}{z}_u& x_u\\ z_v& x_v\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}{x}_u& y_u\\ x_v& y_v\end{array}\right|].$

Z własności iloczynu mieszanego mamy więc:

$\epsilon \underset{D}{\iint }𝐅(x,y,z)\cdot 𝐡dudv=\epsilon \underset{D}{\iint }\left|\begin{array}{ccc}X& Y& Z\\ x_u& y_u& z_u\\ x_v& y_v& z_v\end{array}\right|dudv.$

Tu $\epsilon =+1,$ gdy płat $S$ jest zorientowany zgodnie z wektorem h; $\epsilon =-1,$ gdy jest zorientowany przeciwnie.

Dane 3 rzuty

Szablon:Dopracować Jeśli płat $S$ można opisać wzorami $x=x(y,z),y=y(z,x),z=z(x,y),$ gdzie wszystkie te funkcje są określone w zbiorach $S_{yz},$ $S_{zx},$ $S_{xy},$ będących rzutami $S$ odpowiednio na $OYZ,$ $OZX,$ $OXY,$ to

$\underset{S}{\iint }𝐅(x,y,z)d𝐒=\underset{S}{\iint }(Xdydz+Ydzdx+Zdxdy)=$

$={\epsilon }_x\underset{S_{yz}}{\iint }X(x(y,z),y,z)dydz+{\epsilon }_y\underset{S_{zx}}{\iint }Y(x,y(z,x),z)dxdz+{\epsilon }_z\underset{S_{xy}}{\iint }Z(x,y,z(x,y))dxdy.$

${\epsilon }_x=+1,{\epsilon }_y=+1,{\epsilon }_z=+1,$ gdy płat S jest zorientowany zgodnie z odpowiednią osią, a $-1$ gdy jest zorientowany przeciwnie. ${\epsilon }_x*{\epsilon }_z=+1\iff z_x<0$ itd.

• Jeżeli jeden lub dwa rzuty płata S mają pole równe zero, to we wzorze pozostają tylko dwie lub jedna całka podwójna.
• Wzór pozostaje słuszny, jeżeli tylko wewnętrznym punktom płata można przyporządkować punkty rzutów.
• Aby zastosować tę metodę do innych płatów, należy je podzielić na skończona liczbę płatów spełniających założenia.

Przykłady

Całka powierzchniowa zorientowana występuje na przykład w prawie Gaussa (dla elektryczności, a także magnetyzmu i grawitacji) i prawie Ampère’a.

Zobacz też

• twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa
• twierdzenie Stokesa

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Surface integral Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].