Ślad (algebra liniowa)

Ślad macierzy – suma elementów na głównej przekątnej macierzy kwadratowej.

Definicja formalna

Niech $A$ będzie macierzą kwadratową stopnia $n.$ Śladem macierzy $A$ nazywamy wielkość

$\mathrm{tr}(A)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}.$

Stosuje się również oznaczenia $\mathrm{Tr}(A)$ oraz $\mathrm{trace}(A).$ Macierz, której ślad jest równy zeru nazywa się czasami macierzą bezśladową.

Własności

• Ślad jest operatorem liniowym. Niech $A,B\in M_n(K)$ oraz $r\in K,$ wówczas:
  • $\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}(A)+\mathrm{tr}(B)$ – addytywność operacji liczenia śladu,
  • $\mathrm{tr}(rA)=r\mathrm{tr}(A)$ – jednorodność operacji liczenia śladu.
• Przekątna główna macierzy nie ulega zmianie przy transpozycji, stąd

  $\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(A^T).$

• Jeśli $A\in M_n,B\in M_n,$ to

$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA).$

• Jeśli $A\in M_n,B\in M_n,C\in M_n,$ to

$\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(CAB)=\mathrm{tr}(BCA)$ (wszystkie przesunięcia cykliczne), niekoniecznie jednak $\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(BAC).$

Przekształcenia liniowe

Ślad macierzy podobnych jest identyczny, ponieważ dla dowolnej macierzy odwracalnej $P$ zachodzi

$\mathrm{tr}(P^{-1}AP)=\mathrm{tr}(P{P}^{-1}A)=\mathrm{tr}(A).$

Niech $f:V\to V$ będzie przekształceniem liniowym określonym na przestrzeni $V.$ Powyższa obserwacja pozwala na zdefiniowanie śladu endomorfizmu przestrzeni liniowych jako śladu jego macierzy w dowolnej bazie.

Ślad endomorfizmu można też opisać jawnie: jeżeli $X$ jest $n$ wymiarową przestrzenią wektorową, a $\theta$ – n-liniową niezerową formą alternującą, to odwzorowaniu $T$ można przyporządkować formę n-liniową:

${\theta }^T:\underset{n}{\underbrace{X\times \dots \times X}}\ni (x_1,\dots ,x_n)⟼\theta (T{x}_1,x_2,\dots ,x_N)+\theta (x_1,T{x}_2,\dots ,x_N)+\dots +\theta (x_1,x_2,\dots ,T{x}_N)$

Forma ta jest równa $\tau \theta ,$ a stałą proporcjonalności można nazwać $\mathrm{tr}T.$ Da się pokazać, że taka zdefiniowany ślad jest równy śladowi macierzy endomorfizmu w dowolnej bazie.

Niech ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ będą wartościami własnymi macierzy $A.$ Ponieważ $A$ można przekształcić przez podobieństwo (poprzez zmianę bazy) do macierzy w postaci Jordana, której wartości własne znajdują się na głównej przekątnej, to zachodzi

$\mathrm{tr}(A)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i.$

Bezpośrednią konsekwencją powyższego jest równość

$\det (e^A)=e^{\mathrm{tr}(A)}.$

Operatory śladowe

Można podać ogólniejszą definicję, dotyczącą nie tylko macierzy, ale również operatorów przestrzeni Hilberta.

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta, $(e_i{)}_{i\in I}$ jej bazą ortonormalną oraz niech

${ℬ}_1(H)=\{AB:A,B\in {ℬ}_2(H)\},$

gdzie ${ℬ}_2(H)$ oznacza zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta przestrzeni $H,$ tj. takich operatorów liniowych i ciągłych $A:H\to H,$ że

$\Vert A{\Vert }_2:={(\sum _{i\in I}\Vert A{e}_i{\Vert }^2)}^{\frac{1}{2}}<\mathrm{\infty }.$

Funkcja $\mathrm{tr}:{ℬ}_1(H)\to ℂ,$ dana wzorem

$\mathrm{tr}(T)=\sum _{i\in I}⟨T{e}_i,e_i⟩$

nazywana jest śladem.

Operatory należące do ${ℬ}_1(H)$ nazywane operatorami śladowymi.

Powyższa definicja jest poprawna i nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej przestrzeni $H.$ W przypadku, gdy $H$ jest przestrzenią skończeniewymiarową, to każdy jej operator reprezentowany jest przez pewną macierz. Wówczas wartość operatora śladowego na dowolnym jej operatorze pokrywa się z wartością śladu macierzy tego operatora.

Pojęcie śladu wprowadza się także dla szerokiej klasy algebr Banacha, na przykład w kontekście nieprzemiennych przestrzeni $L_p$ na algebrach von Neumanna.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę