Operator śladowy

Operator śladowy – ograniczony operator liniowy na przestrzeni Hilberta o skończonym śladzie. Dokładniej, niech H będzie przestrzenią Hilberta oraz niech (e_i)_{i ∈ I} będzie bazą ortonormalną przestrzeni H. Ograniczony operator liniowy T: H → H nazywany jest śladowym, gdy

$\Vert T{\Vert }_1=\mathrm{t}\mathrm{r}|T|:=\sum _{i\in I}⟨(T^{*}T{)}^{1/2}{e}_i,e_i⟩<\mathrm{\infty },$

przy czym T* oznacza sprzężenie operatora T. Powyższa liczba nazywana jest normą śladową operatora T i nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej przestrzeni TSzablon:OdnSzablon:Odn.

Własności

Niech H będzie przestrzenią Hilberta, (e_i)_{i ∈ I} bazą ortonormalną w H oraz niech S, T: H → H będą ograniczonymi operatorami liniowymi.

• Jeżeli T jest operatorem samosprzężonym (tj. T* = T), to jest on śladowy wtedy i tylko wtedy, gdy T ma on skończony ślad, tj.

$\mathrm{t}\mathrm{r}T:=\sum _{i\in I}⟨T{e}_i,e_i⟩<\mathrm{\infty },$

w szczególności, każdy operator skończonego rzędu jest śladowy.

• Jeżeli T jest operatorem śladowym, to sprzężenie T* też jest operatorem śladowym.
• Jeżeli T i S są operatorami śladowymi, to suma T + S jest również operatorem śladowym.
• Jeżeli T jest operatorem śladowym, to złożenia TS i ST są operatorami śladowymi. Wynika stąd, że zbiór N(H) złożony ze wszystkich operatorów śladowych na H tworzy ideał algebry B(H) wszystkich operatorów ograniczonych na H, który jest zamknięty ze względu na operację sprzężeniaSzablon:Odn. Ideał ten jest domknięty względem normy operatorowej wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń H jest skończenie wymiarowa (w tym wypadku N(H) = B(H)).
• Jeżeli T jest operatorem śladowym, to

$|\mathrm{t}\mathrm{r}(TS)|⩽\Vert S\Vert \cdot \mathrm{t}\mathrm{r}|T|$

oraz

$\mathrm{t}\mathrm{r}(TS)=\mathrm{t}\mathrm{r}(ST).$Szablon:Odn

• Funkcja $\Vert \cdot {\Vert }_1$ jest normą w rodzinie N(H) wszystkich operatorów śladowych na HSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę