Zgodność relacji z działaniem

Zgodność relacji z działaniem – pojęcie algebry abstrakcyjnej; własność pewnych relacji, zwłaszcza dwuczłonowych, określonych na strukturach algebraicznych. Mówi się, że relacja $R$ na zbiorze $X$ jest zgodna z działaniem $*$ na tym zbiorze $(*:X\times X\to X),$ jeśli zachodzi implikacjaSzablon:OdnSzablon:Odn:

$\mathrm{\forall }x,y,x^{\prime },y^{\prime }\in X:xRy\wedge x^{\prime }R{y}^{\prime }\Rightarrow (x*x^{\prime })R(y*y^{\prime }).$

Innymi słowy dowolne dwa zdania wyrażające tę relację można ze sobą łączyć przez wykonywanie działania stronami. Definiuje się też zgodność relacji z działaniami zewnętrznymiSzablon:Odn oraz z działaniami o większej liczbie argumentówSzablon:Odn.

Przykłady

Standardowy porządek liczb rzeczywistych jest zgodny z dodawaniem tych liczbSzablon:Odn:

$\mathrm{\forall }x,y,x^{\prime },y^{\prime }\in ℝ:(x<y\wedge x^{\prime }<y^{\prime })\Rightarrow (x+x^{\prime }<y+y^{\prime }).$

Porządek ten nie jest jednak zgodny z takimi działaniami na tym zbiorze jak:

• odejmowanie: $0<1$ i $0<1,$ ale $0-0\nless 1-1;$
• mnożenieSzablon:Odn: $1<2$ i $-2<-1,$ ale $1(-2)\nless 2(-1).$

Relacja podzbioru jest zgodna z działaniami sumy zbiorów i ich przekrojuSzablon:Fakt:

$(A_1\subseteq B_1\wedge A_2\subseteq B_2)\Rightarrow (A_1\cup A_2\subseteq B_1\cup B_2);$

$(A_1\subseteq B_1\wedge A_2\subseteq B_2)\Rightarrow (A_1\cap A_2\subseteq B_1\cap B_2).$

Rola

Zgodność skierowania z działaniami pojawia się w definicjach grupy uporządkowanej oraz ciała uporządkowanego. Dowodzi się też, że przystawanie elementów grupy względem podgrupy jest zgodne z działaniem tej struktury wtedy i tylko wtedy, gdy ta podgrupa jest normalnaSzablon:Odn; jest to jedna z równoważnych definicji podgrupy normalnej:

$H<G,$

$a{\equiv }_{H}b:\iff a{b}^{-1}\in H,$

$(\mathrm{\forall }a,b,c,d\in G:a{\equiv }_{H}b\wedge c{\equiv }_{H}d\Rightarrow ac{\equiv }_{H}bd)\iff H⊴G.$

Dowodzi się też, że jeśli jakaś relacja równoważności jest zgodna z działaniem grupy, to istnieje podgrupa definiująca tę relację w powyższy sposóbSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę