Zbiory B-wolne

Zbiory $ℬ-$wolne (lub zbiory liczb $ℬ-$wolnych) – zbiory wszystkich liczb całkowitych niebędących wielokrotnościami żadnej z liczb $b\in ℬ$ dla danego zbioru $ℬ$ będącego podzbiorem zbioru liczb naturalnych. Formalnie zbiór $ℬ-$wolny oznaczamy przez ${ℱ}_{ℬ}$ i definiujemy

${ℱ}_{ℬ}:=\mathbb{Z}\setminus \bigcup _{b\in ℬ}b\mathbb{Z}.$

Badaniem zbiorów $ℬ-$wolnych zajmuje się przede wszystkim teoria ergodyczna, chodź należą one do zagadnień teorii liczb. Główna strategia przyjęta w ramach badań polega na analizie topologicznych układów dynamicznych postaci $(X,S)$ przy $(X,d)$ będącej zwartą przestrzenią metryczną, gdzie $X\subset \{0,1{\}}^{\mathbb{Z}}$, tzn. $X$ jest pewnym podzbiorem zbioru wszystkich ciągów $x:\mathbb{Z}\to \{0,1\}$, a $S:X\to X$ jest lewym przesunięciem, tzn. $S(x)=y$, gdzie $y(k)=x(k-1)$. W takim układzie ciąg $\eta \in X$ definiujemy jako funkcję charakterystyczną zbioru ${ℱ}_{ℬ}$ ($\eta (k)=1$ gdy $k$ jest liczbą $ℬ-$wolną oraz $\eta (k)=0$ w przeciwnym wypadku). W pracach najczęściej wykorzystuje się klasyczne wyniki teorii ergodycznej, jak np. twierdzenie ergodyczne Birkhoffa, a także wyniki z zakresu teorii miary czy chińskie twierdzenie o resztach.

Przykładem zbioru liczb $ℬ-$wolnych jest zbiór liczb pierwszych wraz z $1,-1$ i liczbami pierwszymi przemnożonymi przez $-1$. Zbiór ten możemy otrzymać przyjmując $ℬ=\{pq:p,q\in \mathbb{P}\}$. Wówczas problem występowania bloku $(1,0,1)$ czy innych w ciągu $\eta$ jest równoważny z problemem liczb pierwszych bliźniaczych oraz innymi odpowiednikami.

Jednym z najważniejszych problemów dotyczących zbiorów i liczb $ℬ-$wolnych jest nieskończoność występowania danych bloków 0 i 1 w ciągu $\eta$. Przykładowo, jeśli $(\eta (1),\eta (2),\eta (3))=(1,0,1)$, to można zadać pytanie, czy istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych $k$, dla których $(\eta (k+1),\eta (k+2),\eta (k+3))=(1,0,1)$.

Jednym z czołowych matematyków zajmujących się badaniem zbiorów $ℬ-$wolnych jest Mariusz Lemańczyk.

Zbiory $X_{\eta },\widetilde{X_{\eta }}$ i $X_{ℬ}$

Analiza struktury zbioru ${ℱ}_{ℬ}$ oparta jest na analizie trzech układów dynamicznych:

• $(X_{\eta },S)$, gdzie $X_{\eta }$ jest domknięciem orbity $O_S(\eta )=\{S^n\eta :n\in \mathbb{Z}\}$,
• $(\widetilde{X_{\eta }},S)$, gdzie $\widetilde{X_{\eta }}$ jest najmniejszym (w sensie zawierania) zbiorem dziedzicznym zawierającym $X_{\eta }$ jako swój podzbiór. O zbiorze $A\subset \{0,1{\}}^{\mathbb{Z}}$ powiemy, że jest dziedziczny, jeśli dla dowolnych ciągów $x,y\in \{0,1{\}}^{\mathbb{Z}}$ takich, że $x(k)⩽y(k)$ dla wszystkich $k\in \mathbb{Z}$ warunek $y\in A$ implikuje $x\in A$,
• $(X_{ℬ},S)$, gdzie $X_{ℬ}=\{x\in \{0,1{\}}^{\mathbb{Z}}:|\text{supp }x\text{ mod }b|<b\}$. Warunek definiujący zbiór oznacza, że nie dla wszystkich $r\in \{0,1,\dots ,b-1\}$ istnieje $n\in \mathbb{Z}$ taka, że $x(nb+r)=1$. Zbiór $X_{ℬ}$ nazywamy zbiorem ciągów $ℬ-$dopuszczalnych.

Znany wynik z teorii układów dynamicznych mówi, że dla dowolnego $U$ będącego otwartym otoczeniem $\eta$ zbiór $\{n\in \mathbb{Z}:S^n\eta \in U\}$ jest syndetyczny (ma ograniczone różnice między kolejnymi elementami) wtedy i tylko wtedy, gdy układ $(X_{\eta },S)$ jest minimalny. Warunek syndetyczności powyższego zbioru jest znacznie silniejszy od występowania nieskończenie wielu takich samych bloków na $\eta$. Jednakże układ $(X_{\eta },S)$ zwykle nie jest minimalny, dlatego występowanie bloków na $\eta$ uzasadnia się z wykorzystaniem innych własności tego układu lub z wykorzystaniem tzw. kanonicznych liczników.

Kanoniczny licznik

Dla danego zbioru $ℬ=\{b_1,b_2,\dots \}$ oznaczamy

$G_{ℬ}=\prod _{k⩾1}\mathbb{Z}/b_k\mathbb{Z}$.

$G_{ℬ}$ jest wówczas grupą abelową ze zdefiniowanym dodawaniem wzdłuż współrzędnych, $Tg=g+(1,1,1,\dots )$ (przy czym jeśli $g(k)=b_k-1$, to $(g+(1,1,1,\dots ))(k)=0$). Topologia produktowa na $G_{ℬ}$ jest metryzowalna, z (ograniczoną) metryką

$d(g,g^{\prime })=\sum _{k⩾1}\frac{1}{2^k}\frac{|g_k-{g^{\prime }}_k|}{1+|g_k-{g^{\prime }}_k|}$.

Oznaczamy $\mathbb{P}=\otimes m_{\mathbb{Z}/b\mathbb{Z}}$ dla $m_{\mathbb{Z}/b\mathbb{Z}}$ będących miarami zliczającymi, tzn. miarą produktową będącą jednocześnie miarą Haara (ponieważ wartość $\mathbb{P}(A)$ nie zmienia się pod wpływem działania grupowego $T$ na $A$). Układ $(G_{ℬ},T,\mathbb{P})$ nazywamy kanonicznym licznikiem (ang. canonical odometer) powiązanym z $ℬ$. Przykładowo, jeśli $A=\{g\in G_{ℬ}:g(1)=0,g(2)\in \{0,1\}\}$, to

$\mathbb{P}(A)=\frac{1}{b_1}\cdot \frac{2}{b_2}\cdot 1\cdot 1\cdot \dots =\frac{2}{b_1{b}_2}$.

Przykład działania faktora $\phi$ dla $ℬ=\{2,3,5\}$ i $g=(1,1,3)$. Wyraz $\phi (g)(n)={\mathrm{𝟏}}_C(T^{n}g)$ przyjmuje wartość równą 0, jeśli któraś ze współrzędnych $T^{n}g$ w $G_{ℬ}$ jest podzielna przez pewną liczbę $b\in ℬ$ (znajduje się w czerwonym prostokącie).

Własności kanonicznego liczniku mają ogromny wpływ na pierwotny układ dynamiczny, ponieważ istnieje faktor $\phi :G_{ℬ}\to \{0,1{\}}^{\mathbb{Z}}$ zadany przez $\phi (g)(n)={\mathrm{𝟏}}_C(T^{n}g)$ dla $C=\{g\in G_{ℬ}:g_i\ne 0,i=1,2,\dots \}$ taki, że $\phi \circ T^n=S^n\circ \phi$ dla dowolnego $n\in \mathbb{Z}$, a ponadto, z CRT wynika, że $(G_{ℬ},T)$ jest układem minimalnym. Dodatkowo, $(G_{ℬ},T)$ spełnia definicję grupy abelowej, więc - ze względu na minimalność - jest ona jednoznacznie ergodyczna, tzn. istnieje tylko jedna miara ergodyczna mogąca być jej przypisana i jest nią $\mathbb{P}$.

Kanoniczny licznik możemy powiązać z układem $(X_{ℬ},S)$ przy pomocy miary Mirsky'ego, zdefiniowanej dla dowolnego $A\subset X_{ℬ}$ za pomocą odwrotności faktora $\phi$, jako

$\nu (A)=\mathbb{P}({\phi }^{-1}(A))$.

Generyczność punktów

O elemencie $x\in \{0,1{\}}^{\mathbb{Z}}$ powiemy, że jest generyczny, jeśli

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{\mathrm{𝟏}}_C(S^{n}x)=\nu (C)$

dla dowolnego cylindra $C$ (zbioru postaci $\{x\in \{0,1{\}}^{\mathbb{Z}}:x(j_s)=0,s=1,2,\dots ,r\}$ dla pewnego skończonego $r\in \mathbb{N}$). Element ten nazwiemy quasi-generycznym, jeśli istnieje ciąg $(N_k)$ taki, że

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{N_k}\sum _{n=0}^{N_k-1}{\mathrm{𝟏}}_C(S^{n}x)=\nu (C)$.

Wiadomo, że dla dowolnego $ℬ\subset \mathbb{N}$ ciąg $\eta$ jest quasi-generyczny, a jeśli $ℬ$ spełnia warunek Besicovitcha

$\sum _{b\in ℬ}\frac{1}{b}<\mathrm{\infty }$,

to, ponadto, $\eta$ jest generyczna.

Obliczanie miary Mirsky'ego

Przy mierze Mirsky'ego zdefiniowanej za pomocą miary $\mathbb{P}$ i odwzorowania ${\phi }^{-1}$, dla dowolnego skończonego zbioru $A\subset \mathbb{N}$, oznaczając cylinder $C_A^1=\{x\in \{0,1{\}}^{\mathbb{Z}}:x(k)=1,k\in A\}$, możemy pokazać, że

$\nu (C_A^1)=\prod _{k⩾1}(1-\frac{|\text{supp }A\text{ mod}{b}_k|}{b_k})$,

gdzie $\text{supp}$ oznacza nośnik zbioru. Jeśli $A$ jest skończony i $ℬ-$dopuszczalny ( $|\text{supp }A\text{ mod}b|<b$ dla każdego $b\in ℬ$), to wykazujemy, że $\nu (C_A^1)>0$.

Wnioski w teorii liczb

Jeśli zbiór $ℬ=\{b_1,b_2,\dots \}$ spełnia warunki

$\sum _{b\in ℬ}\frac{1}{b}<\mathrm{\infty }$

oraz $\text{NWD}(b_i,b_j)=1$ dla $i\ne j$, to każdy blok, który występuje na $\eta$ przynajmniej raz, będzie tam występował nieskończenie często. Wynika to z generyczności $\eta$ oraz dodatniości miary $\nu (C_A^1)$ dla cylindra $C_A^1$ odpowiadającego temu blokowi. Z warunku $\text{NWD}(b_i,b_j)=1$ korzystamy, aby pokazać, że $(G_{ℬ},T)$ jest minimalny, a z warunku Besicovitcha, żeby wykazać dodatniość miary.

Zbiór $ℬ$ generujący ${ℱ}_{ℬ}$ zbiór liczb pierwszych wraz z $1,-1$ i liczbami pierwszymi przemnożonymi przez $-1$ nie spełnia powyższych założeń. Oznacza to, że teoria zbiorów $ℬ-$wolnych nie potrafi rozstrzygnąć problemów takich, jak hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych.

Przykładami zbiorów $ℬ-$wolnych, dla których $ℬ$ spełnia warunki, są:

• liczby bezkwadratowe (dla $ℬ=\{p^2:p\in \mathbb{P}\}$),
• liczby deficytowe,
• liczby nadmiarowe.