Wzór Perrona

Wzór Perrona – twierdzenie analitycznej teorii liczb, które pozwala wyrazić sumę częściową wartości danej funkcji arytmetycznej przy pomocy skojarzonego z nią szeregu Dirichleta. Twierdzenie zostało nazwane po Oskarze Perronie. Wykorzystuje się je w dowodzie twierdzenia o liczbach pierwszych, aby problem dyskretny przeformułować w kategoriach funkcji zeta Riemanna.

Treść twierdzenia

Zapisywać będziemy $s=\sigma +it$, aby dla danej liczby zespolonej wyrazić jej część rzeczywistą i urojoną.

Niech

$F(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)}{n^s}$

będzie szeregiem Dirichleta zbieżnym bezwzględnie dla $\sigma >{\sigma }_a$. Niech $c>0$, $x>0$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas, dla $\sigma >{\sigma }_a-c$ zachodzi równość

$\sum _{n^{\prime }⩽x}\frac{f(n)}{n^s}=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-\mathrm{\infty }i}{\overset{c+\mathrm{\infty }i}{\int }}F(s+z)\frac{x^z}{z}dz$,

gdzie

$\underset{c-\mathrm{\infty }i}{\overset{c+\mathrm{\infty }i}{\int }}f(z)dz=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{c-Ti}{\overset{c+Ti}{\int }}f(z)dz$

zapis ${\sum }^{\prime }$ oznacza, że ostatni składnik sumy pomnożony jest przez $1/2$, gdy $x$ jest liczbą całkowitą. W szczególności, gdy $s=0$, to

$\sum _{n^{\prime }⩽x}f(n)=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-\mathrm{\infty }i}{\overset{c+\mathrm{\infty }i}{\int }}F(z)\frac{x^z}{z}dz$.

Korzystając z odwrotnej transformacji Mellina, treść dowodu można zapisać jako

$\sum _{n^{\prime }⩽x}\frac{f(n)}{n^s}=\{{ℳ}^{-1}\phi \}(x)$,

gdzie $\phi (z)=F(s+z)$.

Dowód

$c$ jest częścią rzeczywistą zmiennej $z$ pod całką, więc szereg $F(s+z)$ jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie na każdym zwartym podzbiorze półpłaszczyzny $\sigma +c>{\sigma }_a$. Stąd

$\underset{c-Ti}{\overset{c+Ti}{\int }}F(s+z)\frac{x^z}{z}dz=\underset{c-Ti}{\overset{c+Ti}{\int }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)}{n^{s+z}}\frac{x^z}{z}dz=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)}{n^s}\underset{c-Ti}{\overset{c+Ti}{\int }}{\left(\frac{x}{n}\right)}^z\frac{dz}{z}$.

Powyższą sumę można rozdzielić na części, gdzie $n<x$, $n>x$ i ewentualnie trzeci składnik.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)}{n^s}\underset{c-Ti}{\overset{c+Ti}{\int }}{\left(\frac{x}{n}\right)}^z\frac{dz}{z}=\sum _{n<x}\frac{f(n)}{n^s}\underset{c-Ti}{\overset{c+Ti}{\int }}{\left(\frac{x}{n}\right)}^z\frac{dz}{z}+\sum _{n<x}\frac{f(n)}{n^s}\underset{c-Ti}{\overset{c+Ti}{\int }}{\left(\frac{x}{n}\right)}^z\frac{dz}{z}{+}^{\prime }\frac{f(x)}{x^s}\underset{c-Ti}{\overset{c+Ti}{\int }}\frac{dz}{z}$,

przy czym zapis ${+}^{\prime }$ oznacza, że ostatnie wyrażenie uwzględnia się wtedy i tylko wtedy, gdy $x$ jest liczbą całkowitą. Reszta dowodu wynika z tożsamości

$\frac{1}{2\pi i}\underset{c-\mathrm{\infty }i}{\overset{c+\mathrm{\infty }i}{\int }}{a}^z\frac{dz}{z}=\{\begin{array}{c}1\text{dla}a>1,\\ \frac{1}{2}\text{dla}a=1,\\ 0\text{dla}0<a<1\end{array}$

prawdziwej dla dowolnych liczb rzeczywistych $a>0$, $c>0$ oraz z nierówności

$\left|\frac{1}{2\pi i}\underset{c-\mathrm{\infty }i}{\overset{c+\mathrm{\infty }i}{\int }}{a}^z\frac{dz}{z}\right|⩽\frac{a^c}{\pi T\log (1/a)}$

prawdziwej dla $0<a<1$. Dla $a=x/n>1$,

$\sum _{n<x}\frac{f(n)}{n^s}\underset{c-Ti}{\overset{c+Ti}{\int }}{\left(\frac{x}{n}\right)}^z\frac{dz}{z}=\sum _{n<x}\frac{f(n)}{n^s}$.

Zaś jeśli $a=x/n<1$, to

$\left|\sum _{n>x}\frac{f(n)}{n^s}\underset{c-Ti}{\overset{c+Ti}{\int }}{\left(\frac{x}{n}\right)}^z\frac{dz}{z}\right|⩽\sum _{n>x}\frac{|f(n)|}{n^{\sigma }}\frac{2}{T}{\left(\frac{x}{n}\right)}^c\frac{1}{\log \left(\frac{1+\lfloor x\rfloor }{x}\right)}=\frac{2}{T}\frac{x^c}{\log \left(\frac{1+\lfloor x\rfloor }{x}\right)}\sum _{n>x}\frac{|f(n)|}{n^{c+\sigma }}$,

gdzie $\lfloor \cdot \rfloor$ oznacza część całkowitą liczby. Występujący czynnik będący szeregiem jest skończony, więc prawa strona dąży do 0 gdy $T\to \mathrm{\infty }$. To dowodzi wzór Perrona.

Przykłady

Klasyczne przykłady wykorzystania wzoru Perrona dotyczą przede wszystkim funkcji zeta Riemanna. Wszystkie one dotyczą przedstawienia funkcji na półpłaszczyźnie $\sigma >1$, ze względu na charakter twierdzenia.

$\zeta (s)=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}dx$,

$\frac{1}{\zeta (s)}=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{M(x)}{x^{s+1}}dx$,

gdzie $M(x)=\sum _{n⩽x}\mu (n)$ oznacza funkcję Mertensa,

$-\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\psi (x)}{x^{s+1}}dx,$

gdzie $\psi (x)$ jest drugą funkcją Czebyszewa.