Funkcja Czebyszewa

Wartości drugiej funkcji Czebyszewa dla $x<50$ (niebieska), dla porównania funkcja $y=x.$

Funkcje Czebyszewa są dwiema funkcjami wykorzystywanymi w teorii liczb. Swoją nazwę wzięły od nazwiska rosyjskiego matematyka, Pafnutija Czebyszewa.

Pierwsza funkcja Czebyszewa, oznaczana przez $\vartheta (x)$ lub $\theta (x),$ jest zdefiniowana jako

$\vartheta (x)=\sum _{p⩽x}\log p,$

dla dowolnej liczby rzeczywistej $x>0,$ gdzie $\sum _{p⩽x}$ oznacza sumę po liczbach pierwszych mniejszych lub równych $x,$ a $\log$ jest logarytmem naturalnym.

Druga funkcja Czebyszewa, oznaczana przez $\psi (x),$ jest zdefiniowana jako

$\psi (x)=\sum _{n⩽x}\mathrm{\Lambda }(n)=\sum _{p^k⩽x}\log p=\sum _{p⩽x}\lfloor {\log }_{p}x\rfloor \log p,$

dla $x>0,$ gdzie $\mathrm{\Lambda }(n)$ jest funkcją von Mangoldta.

Funkcje $\vartheta$ i $\psi$ (zwłaszcza $\psi$) są wykorzystywane szczególnie często w analitycznej teorii liczb, ze względu na dobre wzory opisujące ich zachowanie w relacji z funkcją zeta Riemanna.

Relacje między funkcjami $\pi ,$ $\vartheta$ i $\psi$

Niech $\pi (x)$ będzie funkcją liczącą liczby pierwsze. Korzystając z sumowania przez części Abela, możemy uzyskać

$\vartheta (x)=\pi (x)\log x-\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{\pi (t)}{t}dt$

i równoważnie

$\pi (x)=\frac{\vartheta (x)}{\log x}+\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{\vartheta (t)}{t(\log t{)}^2}dt.$

Relacja między pierwszą a drugą funkcją Czebyszewa jest opisana przez

$\psi (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\vartheta \left(x^{\frac{1}{n}}\right)=\sum _{n⩽{\log }_{2}x}\vartheta \left(x^{\frac{1}{n}}\right),$

przy czym druga równość zachodzi, ponieważ dla $n>{\log }_{2}x$ zachodzi nierówność $x^{\frac{1}{n}}<2,$ a tym samym $\vartheta \left(x^{\frac{1}{n}}\right)=0.$

Dodatkowo, korzystając z powyższej równości można wykazać dla $x>0$ prawdziwość ograniczenia

$0⩽\frac{\psi (x)}{x}-\frac{\vartheta (x)}{x}⩽\frac{(\log x{)}^2}{2\sqrt{x}\log 2}.$

Twierdzenie o liczbach pierwszych

Szablon:Osobny artykuł W swojej pierwotnej wersji, twierdzenie o liczbach pierwszych mówi, że

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)}{x\log x}=1.$

Korzystając z funkcji Czebyszewa, możemy równoważnie zapisać treść jako

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\vartheta (x)}{x}=1$

lub

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\psi (x)}{x}=1.$

Wzór Selberga

Szablon:Osobny artykuł W 1948 r. Atle Selberg udowodnił zależność

$\vartheta (x)\log x+\sum _{p⩽x}\vartheta \left(\frac{x}{p}\right)\log p=2x\log x+O(x),$

lub równoważnie

$\psi (x)\log x+\sum _{p⩽x}\psi \left(\frac{x}{p}\right)\log p=2x\log x+O(x)$

lub

$\psi (x)\log x+\sum _{n⩽x}\psi \left(\frac{x}{n}\right)\mathrm{\Lambda }(n)=2x\log x+O(x).$

Wzór Selberga odegrał kluczową rolę w elementarnych, niezależnych od siebie dowodach twierdzenia o liczbach pierwszych Selberga i Erdösa.

Związek z funkcją zeta Riemanna

W 1895 Hans von Mangoldt udowodnił, że

${\psi }_0(x)=x-\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }-\frac{{\zeta }^{\prime }(0)}{\zeta (0)}-\frac{1}{2}\log (1-\frac{1}{x^2}),$

gdzie $\sum _{\rho }$ oznacza sumę po wszystkich zerach funkcji zeta na $0<\mathrm{\Re }(s)<1.$ Funkcja ${\psi }_0$ jest zdefiniowana jako

${\psi }_0(x)=\frac{1}{2}(\sum _{n⩽x}\mathrm{\Lambda }(n)+\sum _{n<x}\mathrm{\Lambda }(n)).$

Wiadomo, że szeregiem Taylora równym funkcji $\log (1-x^{-2})$ jest

$-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-2k}}{k},$

dlatego $\sum _{\rho }$ trzeba rozumieć jako sumę po nietrywialnych miejscach zerowych funkcji zeta, a powyższy szereg – jako sumę po miejscach trywialnych $(-2,-4,-6,\dots ).$

Funkcje Czebyszewa dla ciągów arytmetycznych

Na potrzebę zagadnień dot. liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych (np. twierdzenia Dirichleta), definiuje się często funkcje pomocnicze. Niech dana będzie liczba całkowita $q>1$ oraz względnie pierwsza z nią liczba całkowita $a.$ Wówczas oznaczamy

$\vartheta (x;q,a)=\sum _{\begin{array}{c}p⩽x\\ p\equiv a(\text{mod}q)\end{array}}\log p$

oraz

$\psi (x;q,a)=\sum _{\begin{array}{c}n⩽x\\ n\equiv a(\text{mod}q)\end{array}}\mathrm{\Lambda }(n).$