Funkcja von Mangoldta

Funkcja von Mangoldta jest funkcją arytmetyczną wykorzystywaną w teorii liczb. Jest przykładem ważnej funkcji, która nie jest ani multiplikatywna, ani addytywna.

Definicja

Funkcja von Mangoldta, oznaczana przez $\mathrm{\Lambda }(n),$ jest zdefiniowana jako

$\mathrm{\Lambda }(n)=\{\begin{array}{cc}\log p,& n=p^k(k\in \mathbb{N}),\\ 0,& n\ne p^k,\end{array}$

gdzie $p$ oznacza dowolną liczbę pierwszą, a $\log$ – logarytm naturalny.

Równoważnie, korzystając z odwracania Möbiusa i równości

$\log n=\sum _{d|n}\mathrm{\Lambda }(d),$

możemy zdefiniować funkcję von Mangoldta jako

$\mathrm{\Lambda }(n)=\sum _{d|n}\mu (d)\log \left(\frac{n}{d}\right),$

gdzie $\mu$ oznacza funkcję Möbiusa.