Układ współrzędnych biegunowych

Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) – układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt $O$ zwany biegunem oraz półprostą $OS$ o początku w punkcie $O$ zwaną osią biegunową.

Definicja

Każdemu punktowi $P$ płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe, jak następuje:

• promień wodzący punktu $P$ to jego odległość $|OP|$ od bieguna,
• amplituda punktu $P$ to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą $OS$ a wektorem $\overrightarrow{OP}.$

Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna $O$ są równe $(0,0).$ O amplitudzie możemy zakładać, że $0⩽\phi <2\pi$ (niektórzy autorzy przyjmują $-\pi <\phi ⩽\pi$).

Rys historyczny

Układ współrzędnych biegunowych został wprowadzony i rozwinięty w Europie w XVII wieku.

• W XVII w. Bonaventura Cavalieri użył współrzędnych biegunowych, aby wyznaczyć pole obszaru ograniczonego pierwszym „obrotem” spirali Archimedesa.
• W 1647 Grégoire de Saint-Vincent opublikował pracę, w której używał współrzędnych biegunowych i twierdził, że znał tę metodę już w 1625.
• W 1658 Blaise Pascal używał układu biegunowego do wyznaczenia długości łuków krzywych.
• W 1661 James Gregory, szkocki matematyk, użył podobnej metody.
• Isaac Newton dyskutował różne układy współrzędnych, m.in. używał układu biegunowego.
• Jakob Bernoulli używał tego układu w badaniach krzywizny pewnych krzywych. Uważa się go za twórcę biegunowego układu współrzędnych we współczesnej formie.

Według Juliana Coolidge’a (amerykański matematyk i historyk Uniwersytetu Harvarda) pierwszeństwo w stosowaniu układu biegunowego należy przyznać Cavalierierimu albo Saint-Vincentemu.

Związek z układem kartezjańskim

Rysunek pokazujący związek układów biegunowego i kartezjańskiego

Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie: układ kartezjański $OXY$ oraz układ biegunowy z biegunem $O$ i osią biegunową $OX.$

Przejście od układu biegunowego do kartezjańskiego

Dla danego wektora wodzącego $r⩾0$ i amplitudy $\phi \in [0,2\pi )$ punktu $P,$ jego współrzędne kartezjańskie są określone wzorami:

$\{\begin{array}{c}x(r,\phi )=r\cdot \cos \phi ,\\ y(r,\phi )=r\cdot \sin \phi .\end{array}$

Jakobian przejścia wynosi

$\frac{D(x,y)}{D(r,\phi )}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \phi }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \phi }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\cos \phi & -r\sin \phi \\ \sin \phi & r\cos \phi \end{array}\right|$ $=r({\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi )=r.$

Przejście od układu kartezjańskiego do biegunowego

Dla punktu $P$ o współrzędnych kartezjańskich $(x,y)$ promień wodzący tego punktu może być wyznaczony na podstawie twierdzenia Pitagorasa:

$r=\sqrt{x^2+y^2}.$

Jeśli $r\ne 0$ i $x\ne 0,$ to z definicji funkcji tangens:

$\mathrm{tg}\phi =\frac{y}{x}$,

zatem amplituda $\phi$ tego punktu jest dana wzorem:

$\phi =\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)$

(o ile dopuszczamy ujemne wartości $\phi$).

Natomiast aby otrzymać $0⩽\phi <2\pi ,$ należy rozważyć następujące przypadki:

$\phi =\{\begin{array}{cc}\mathrm{arctg}(\frac{y}{x}),& \text{gdy }x>0\text{ oraz }y⩾0\\ \mathrm{arctg}(\frac{y}{x})+2\pi ,& \text{gdy }x>0\text{ oraz }y<0\\ \mathrm{arctg}(\frac{y}{x})+\pi ,& \text{gdy }x<0\\ \frac{\pi }{2},& \text{gdy }x=0\text{ oraz }y>0\\ \frac{3\pi }{2},& \text{gdy }x=0\text{ oraz }y<0\end{array},$

gdzie $\mathrm{arctg}$ oznacza funkcję arcus tangens. W zakresie kątów $(-\pi ,\pi )$ można ten zapis uprościć do

$\phi =\arccos \left(\frac{x}{r}\right)\mathrm{sgn}(y),$

gdzie $\mathrm{sgn}$ oznacza funkcję signum.

Równania biegunowe krzywych algebraicznych

Krzywą algebraiczną nazywa się krzywą płaską, której równanie w układzie współrzędnych kartezjańskich jest wielomianem $W(x,y)$

zmiennych $x,y.$ Stopniem krzywej algebraicznej – to maksymalny stopień wszystkich składników wielomianu postaci $x^i{y}^j.$

Równaniami biegunowymi krzywych nazywa się równania krzywych algebraicznych zapisane w układzie biegunowym. Dla wielu krzywych równania te cechuje szczególna symetria lub prostota.

Okrąg o równaniu $r(\phi )=1$

Okrąg

Okrąg o środku w punkcie $(r_0,{\phi }_0)$ i promieniu $a>0$ jest opisany przez równanie

$r^2-2r{r}_0\cos (\phi -{\phi }_0)+r_0^2=a^2.$

Okrąg jest krzywą algebraiczną 2-go stopnia. Gdy środek znajduje się w biegunie układu współrzędnych, to równanie okręgu przybiera szczególnie prostą postać

$r=a.$

Róża

Róża o równaniu $r(\phi )=2\sin (4\phi )$

Krzywa znana pod nazwą róży lub róży polarnej opisana jest przez równanie

$r=a\cos (k\phi +{\phi }_0),$

gdzie ${\phi }_0$ jest dowolną stałą, $a$ jest parametrem wyznaczającym długość „płatków” róży, a $k$ jest parametrem wyznaczającym liczbę i formę „płatków” róży.

Jeśli $k$ jest nieparzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała $k$ płatków, a jeśli $k$ jest parzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała $2k$ płatków. Dla innych wartości $k$ kształt krzywej może być bardziej skomplikowany.

Spirala Archimedesa

Jedno ramię spirali Archimedesa o równaniu $r(\phi )=\phi$ dla $0<\phi <6\pi$

Spirala Archimedesa jest przedstawiona przez równanie

$r=a+b\phi .$

Parametry $a,b$ w powyższym równaniu odpowiedzialne są za kształt spirali: zmiana $a$ spowoduje obrócenie krzywej, a wartość $b$ wyznacza odległość pomiędzy ramionami.

Prosta

Prosta radialna, tzn. prosta przechodząca przez biegun, jest zadana przez równanie

$\phi ={\phi }_0,$

gdzie ${\phi }_0$ to nachylenie prostej.

Prosta nieradialna, która jest prostopadła do prostej radialnej i przecina ją w punkcie $(r_0,{\phi }_0),$ zadana jest przez równanie

$r=r_0\sec (\phi -{\phi }_0).$

Krzywe stożkowe

Elipsa z zaznaczonym parametrem $p$ („semilatus rectum” – zielony kolor)

Wszystkie krzywe stożkowe można opisać w układzie współrzędnych biegunowych prostym równaniem (gdy jedno z ognisk pokrywa się z biegunem $O$ układu, a drugie ognisko leży na osi biegunowej $OS$):

$r=\frac{p}{1-e\cos \phi },$

gdzie:

• $r,\phi$ – współrzędne biegunowe punktu krzywej,
• $e$ – mimośród, decydujący o typie krzywej ($e=0$ – okrąg, $0<e<1$ – elipsa, $e=1$ – parabola, $e>1$ – hiperbola),
• $p$ – parametr krzywej równy połowie długości cięciwy, która przechodzi przez jej ognisko i jest równoległa do jej kierownicy (por. rysunek – nosi on łacińską nazwę semilatus rectum oznaczającego połowę odcinka).

Pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji

Powierzchnia ograniczona krzywą r=r(φ) i promieniami φ = a oraz φ = b.

Pole powierzchni $S$ ograniczonej wykresem funkcji $r=r(\phi )$ i promieniami $\phi =a$ oraz $\phi =b$ (por. rysunek) oblicza się sumując jej infinitezymalne wycinki kołowe $dS:$

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}dS(\phi )=\frac{1}{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{r}^2(\phi )d\phi$

tj. pole powierzchni jest połową całki z kwadratu funkcji $r=r(\phi ),$ ograniczonej kątami $\phi =a$ oraz $\phi =b.$

Dowód:

Powierzchnia ograniczona krzywą r=r(φ) jest przybliżana za pomocą n trójkątów równoramiennych (tu n = 5).

Pole pod krzywą można przybliżyć za pomocą wycinków kołowych o środku w biegunie $O$ (por. rysunek). Niech $d\phi =(b-a)/n$ oznacza miarę kąta każdego wycinka wyrażoną w radianach, gdzie $n$ – liczba podziału przedziału kątowego $[a,b]$ na równe części; niech ${\phi }_i$ będzie kątem środkowym $i$ -tego wycinka, $i=1,2,...,n;$ każdy z wycinków ma odpowiednio promień $r({\phi }_i),$ kąt środkowy $d\phi$ i długość łuku $r({\phi }_i)d\phi .$ Powierzchnia każdego wycinka jest zatem równa:

$dS={[r({\phi }_i)]}^2\pi \cdot \frac{d\phi }{2\pi }=\frac{1}{2}{[r({\phi }_i)]}^{2}d\phi$

Sumaryczne pole wszystkich wycinków dane jest wzorem:

$S_n=\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}r({\phi }_i{)}^2\mathrm{\Delta }\phi$

Zwiększając liczbę podziałów $n$ pola pod krzywą otrzymujemy coraz mniejsze katy $d\phi$ i polepsza się przybliżenie. Dla $n\to \mathrm{\infty }$ mamy $d\phi \to 0$ – powyższa suma przechodzi w całkę Riemanna:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}dS(\phi )=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{2}{r}^2(\phi )d\phi =\frac{1}{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{r}^2(\phi )d\phi ,$ cnd.

Długość łuku krzywej we współrzędnych biegunowych

Długość łuku $L$ (tj. długość wycinka) krzywej zdefiniowanej za pomocą funkcji biegunowej $r=r(\phi )$ oblicza się sumując wzdłuż krzywej infinitezymalne jej fragmenty $dl:$

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}dl(\phi )=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{{[r(\phi )]}^2+{\left[\frac{dr(\phi )}{d\phi }\right]}^2}d\phi$

gdzie $\phi =a$ oraz $\phi =b$ oznaczają współrzędne kątowe odpowiednio punktu początkowego i końcowego łuku krzywej; $\frac{dr(\phi )}{d\phi }\equiv r^{\prime }(\phi )$ – pochodna zmiennej $r(\phi )$ po $\phi .$

Dowód:

(1) Wyprowadzenie wzoru na długość łuku różniczkowego krzywej

W układzie współrzędnych biegunowych, powierzchnię wykresu funkcji $r$ można podzielić na trójkąty, których wierzchołki zawarte pomiędzy ich ramionami $O$ znajdują się w biegunie, zaś 2 pozostałe: $P$ i $Q,$ są częścią wykresu i znajdują się obok siebie, przy czym długość pierwszego ramienia $|OP|$ wynosi $r(\phi ),$ drugiego $|OQ|:$ $r(\phi +d\phi )=r(\phi )+dr(\phi )$ dla argumentu $\phi ,$ długość podstawy $|PQ|$ jest różniczką naszego łuku, a więc oznaczona jako $dL,$ zaś kąt zawarty pomiędzy ramionami $(POQ)$ wynosi $d\phi ,$ gdzie $d\phi \to 0$ jest różniczką tegoż argumentu. Na ramieniu $OQ$ umieszczamy punkt $R,$ który dzieli to ramię w ten sposób, że $|OR|=|OP|=r(\phi ),$ zaś $|RQ|=dr(\phi ).$ W ten sposób podzieliliśmy trójkąt $OPQ$ na 2 mniejsze: równoramienny $OPR$ (o podstawie $PR$) i $PQR.$ Kąt $ORP$ oznaczmy jako $\gamma ,$ zaś kąt $PRQ$ – jako $\delta .$ Kąty $d\phi$ i $\gamma$ znajdują się w trójkącie równoramiennym, tak więc suma ich wszystkich jest równa $\pi :$

$2\gamma +d\phi =\pi ,$

$2\gamma =\pi -d\phi ,$

$\gamma =\frac{\pi -d\phi }{2}.$

Ponieważ $d\phi \to 0,$ więc:

$\gamma \to \frac{\pi }{2}.$

Kąty $\gamma$ i $\delta$ są względem siebie przyległe, tak więc ich suma jest równa $\pi :$

$\gamma +\delta =\pi ,$

$\delta =\pi -\gamma =\pi -\frac{\pi -d\phi }{2}=\frac{\pi +d\phi }{2}.$

Ponieważ $d\phi \to 0,$ więc:

$\delta \to \frac{\pi }{2}.$

Skoro kąt $\delta$ znajduje się w trójkącie $PQR,$ to trójkąt ten staje się prostokątny, a skoro tworzą go boki $PQ,$ $PR$ i $QR,$ to muszą one spełniać twierdzenie Pitagorasa:

$|PQ{|}^2=|PR{|}^2+|QR{|}^2,$

$d{L}^2=|PR{|}^2+d{r}^2(\phi ).$

Długość podstawy $|PR|$ można policzyć w oparciu o twierdzenie cosinusów:

$|PR{|}^2=r^2(\phi )+r^2(\phi )-2r(\phi )r(\phi )\cos (d\phi )=2r^2(\phi )-2r^2(\phi )\cos (d\phi )=2r^2(\phi )(1-\cos (d\phi )).$

Stąd:

$d{L}^2=2r^2(\phi )(1-\cos (d\phi ))+d{r}^2(\phi )=(2r^2(\phi )\cdot \frac{1-\cos (d\phi )}{d{\phi }^2}+{\left(\frac{dr(\phi )}{d\phi }\right)}^2)d{\phi }^2$

Ponieważ $\underset{d\phi \to 0}{\lim }\frac{1-\cos (d\phi )}{d{\phi }^2}=\frac{1}{2},$ to:

$d{L}^2=((\cancel{2}r(\phi {)}^2\cdot \frac{1}{\cancel{2}}+{\left(\frac{dr(\phi )}{d\phi }\right)}^2)d{\phi }^2,$

gdzie $\frac{dr(\phi )}{d\phi }\equiv r^{\prime }(\phi )$ staje się pochodną $r=r(\phi )$ po $\phi$ dla $d\phi \to 0.$ Różniczka łuku $dL$ wykresu funkcji $r$ w układzie współrzędnych biegunowych wyraża się więc wzorem:

$dL(\phi )=\sqrt{r(\phi {)}^2+r^{\prime }(\phi {)}^2}d\phi$

(2) Długość łuku $L$ wykresu funkcji $r=r(\phi )$ wyraża się zatem wzorem:

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}dL(\phi )=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{r(\phi {)}^2+r^{\prime }(\phi {)}^2}d\phi ,$ cnd.

Liczby zespolone – użyteczność postaci biegunowej

Przedstawienie liczby zespolonej na płaszczyźnie zespolonej

Postaci trygonometryczna i wykładnicza liczby zespolonej

Każda liczba zespolona $z$ może być przedstawiana jako punkt na płaszczyźnie zespolonej, z zastosowaniem różnych układów współrzędnych:

(1) w układzie współrzędnych kartezjańskich

$z=x+iy,$

gdzie: $i$ – jednostka urojona, $x,y$ – współrzędne kartezjańskie punktu

(2) w układzie współrzędnych biegunowych (tzw. postać trygonometryczna liczby zespolonej)

$z=r\cdot (\cos \phi +i\sin \phi ),$

gdzie: $r$ – współrzędna radialna nazywana tu modułem liczby $z,$ $\phi$ – współrzędna kątowa nazywana jej argumentem. Postać trygonometryczną liczby zespolonej można przekształcić do postaci wykładniczej

$z=r{e}^{i\phi },$

gdzie $e$ to liczba Eulera.

Użyteczność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wynika m.in. z faktu, że mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb w tych postaciach jest znacznie proste, niż w postaci kartezjańskiej (por. działania na liczbach zespolonych), tj.

a) mnożenie

$r_0{e}^{i{\theta }_0}\cdot r_1{e}^{i{\theta }_1}=r_0{r}_1{e}^{i({\theta }_0+{\theta }_1)},$

b) dzielenie

$\frac{r_0{e}^{i{\theta }_0}}{r_1{e}^{i{\theta }_1}}=\frac{r_0}{r_1}{e}^{i({\theta }_0-{\theta }_1)},$

c) potęgowanie

$(r{e}^{i\theta }{)}^n=r^n{e}^{in\theta },$

d) pierwiastkowanie (pierwiastek główny)

$\sqrt[n]{r{e}^{i\phi }}=\sqrt[n]{r}{e}^{\frac{i\phi }{n}}$

Zobacz też

Inne układy współrzędnych:

• współrzędne cylindryczne
• współrzędne sferyczne
• współrzędne uogólnione
• współrzędne krzywoliniowe

Szczególne układy współrzędnych:

• współrzędne astronomiczne
• współrzędne galaktyczne
• współrzędne geodezyjne
• współrzędne geograficzne

Inne:

• długość krzywej