Twierdzenie Leibniza (o różniczkowaniu pod znakiem całki)

Twierdzenie Leibniza albo Leibniza o różniczkowaniu pod znakiem całki zwane często regułą Leibniza – twierdzenie mówiące o różniczkowaniu funkcji danej jako całka z parametrem.

Reguła Leibniza

Wersja I – analiza klasyczna

Niech $f(x,y)$ będzie funkcją $f:[a,b]\times [c,d]\ni (x,y)\mapsto ℝ$ załóżmy, że $f$ jest funkcją ciągła oraz że ma ona ciągłą pochodną cząstkową $f{\text{'}}_y=\frac{\partial f}{\partial y}$ na całej swojej dziedzinie.

Dla $y\in (c,d)$ określmy $I(y)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)\mathrm{d}x.$ Wówczas funkcja $I(y)$ jest różniczkowalna oraz dla każdego $y\in (c,d)$ spełniony jest wzór:

$I^{\prime }(y)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f{\text{'}}_y(x,y)\mathrm{d}x.$

Ogólniej, zakładając że dla każdego $y$ funkcja jest ciągła na przedziale $[a(x),b(x)],$ gdzie funkcje $a,b$ są ciągle różniczkowalne, mamy:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\underset{a(y)}{\overset{b(y)}{\int }}f(x,y)\mathrm{d}x=\underset{a(y)}{\overset{b(y)}{\int }}f{\text{'}}_y(x,y)\mathrm{d}x+f(b(y),y)b^{\prime }(y)-f(a(y),y)a^{\prime }(y).$

Wersja II – teoria miary

Niech $X$ będzie otwartym podzbiorem $ℝ,$ oraz $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mu )$ będzie przestrzenią mierzalną. Załóżmy, że $f:X\times \mathrm{\Omega }\mapsto ℝ$ spełnia poniższe warunki:

(1) $f(x,\omega )$ jest dla każdego $x\in X$ funkcją całkowalną względem $\omega .$

(2) Dla każdego $x\in X$ pochodna $f_x$ istnieje $\mu$-p.w.

(3) Istnieje całkowalna funkcja $\theta :\mathrm{\Omega }\mapsto ℝ$ dla której $|f_x(x,\omega )|⩽\theta (\omega )\mathrm{\forall }x\in X.$

Wtedy dla każdego $x\in X$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x,\omega )\mu \{\mathrm{d}\omega \}=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{f}_x(x,\omega )\mu \{\mathrm{d}\omega \}.$

Dowód

Zauważmy, że iloraz różnicowy funkcji I dany jest przez

$\frac{I(y+h)-I(y)}{h}=\frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y+h)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx}{h}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}dx,$

(pamiętajmy, że całka jest operatorem liniowym). Teraz,

$I^{\prime }(y)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{I(y+h)-I(y)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}dx.$

W związku z powyższym pozostaje kwestia, czy możemy przejść z granicą pod całkę.

Wersja I

Zauważmy, że funkcja określona jest na zbiorze domkniętym i ograniczonym, co w ${ℝ}^n$ jest jednoznaczne ze zwartością zbioru. Z założenia istnienia pochodnej cząstkowej dla każdego ciągu $(a_n)\to 0$ zachodzi zbieżność punktowa $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x,y+a_n)-f(x,y)}{a_n}$ dla każdego punktu. Na mocy zwartości dziedziny funkcji mamy zatem zbieżność jednostajną, co pozwala nam napisać:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(x,y+a_n)-f(x,y)}{a_n}dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x,y+a_n)-f(x,y)}{a_n}dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)dx.$

Co na mocy dowolności ciągu $(a_n)$ oraz definicji Heinego granicy funkcji daje tezę podstawową. Weźmy teraz $a(y),b(y)$ ciągle różniczkowalne.

$\begin{array}{cc}{I}_h& =\frac{1}{h}(\underset{a(y+h)}{\overset{b(y+h)}{\int }}f(x,y+h)dx-\underset{a(y)}{\overset{b(y)}{\int }}f(x,y)dx)\\ & =\frac{1}{h}(\underset{b(y)}{\overset{b(y+h)}{\int }}f(x,y+h)dx+\underset{a(y)}{\overset{b(y)}{\int }}f(x,y+h)dx+\underset{a(y+h)}{\overset{a(y)}{\int }}f(x,y+h)dx-\underset{a(y)}{\overset{b(y)}{\int }}f(x,y)dx)\\ & =\underset{a(y)}{\overset{b(y)}{\int }}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}dx+\frac{1}{h}([b(y+h)-b(y)]f({\xi }_1^h,y+h)-[a(y+h)-a(y)]f({\xi }_2^h,y+h)),\end{array}$

gdzie ostatnia równość zachodzi na mocy twierdzenia o wartości pośredniej dla całki z funkcji ciągłej ${\xi }_1^h\in [b(y),b(y+h)]{\xi }_2^h\in [a(y),a(y+h)].$ Zatem biorąc granicę, i korzystając z podstawowej wersji twierdzenia mamy:

$\begin{array}{cc}\underset{h\to 0}{\lim }{I}_h& =\underset{h\to 0}{\lim }\underset{a(y)}{\overset{b(y)}{\int }}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}dx+f(b(y),y)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{b(y+h)-b(y)}{h}-f(a(y),y)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{[a(y+h)-a(y)}{h}\\ & =\underset{a(y)}{\overset{b(y)}{\int }}f{\text{'}}_y(x,y)\mathrm{d}x+f(b(y),y)b^{\prime }(y)-f(a(y),y)a^{\prime }(y).\end{array}$

Przy czym z ciągłości f mamy ${\xi }_1^h\to b(x){\xi }_2^h\to a(x).$

Wersja II

Korzystając z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej dla dowolnego ciągu dążącego do zera, oraz stosując definicję Heinego granicy funkcji jak powyżej otrzymujemy:

$I^{\prime }(y)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)dx.$

Zobacz też

• podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
• twierdzenie Fubiniego

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę