Twierdzenie Goldstine’a

Twierdzenie Goldstine’a – twierdzenie mówiące, że obraz kuli jednostkowej $B_X$ przestrzeni unormowanej $X$ poprzez kanoniczne odwzorowanie w drugą przestrzeń sprzężoną $X^{\ast \ast }$

${\kappa }_X:X\to X^{\ast \ast },⟨{\kappa }_{X}x,f⟩=⟨f,x⟩(x\in X,f\in X^{\ast })$

jest gęsty w kuli jednostkowej $B_{X^{\ast \ast }}$ przestrzeni $X^{\ast \ast }$ w sensie *-słabej topologii (tzn. topologii $\sigma (X^{\ast \ast },X^{\ast })$), tj.

$\stackrel{{\mathrm{w}}^{\ast }}{\overline{{\kappa }_X(B_X)}}=B_{X^{\ast \ast }}.$

W szczególności, obraz samej przestrzeni $X$ poprzez odwzorowanie ${\kappa }_X$ jest gęsty w $X^{\ast \ast }$ w sensie *-słabej topologii.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Hermana Heine Goldstine’a, który udowodnił nieco mniej ogólną jego wersję w 1938 roku.

Dowód

Z wypukłości kuli $B_X$ oraz liniowości ${\kappa }_X$ wynika, że obraz ${\kappa }_X(B_X)$ jest wypukłym podzbiorem $X^{\ast \ast }.$ Ponieważ $X^{\ast \ast }$ z *-słabą topologią jest przestrzenią liniowo-topologiczną, domknięcie ${\kappa }_X(B_X)$ jest również zbiorem wypukłym. Jako zbiór *-słabo domknięty w $B_{X^{\ast \ast }},$ z twierdzenia Banacha-Alaoglu, jest on *-słabo zwarty. Gdyby zbiór ten nie był całą kulą $B_{X^{\ast \ast }},$ to istniałby funkcjonał $\phi \in B_{X^{\ast \ast }},$ który nie należy do domknięcia ${\kappa }_X(B_X).$ Z twierdzenia o oddzielaniu istniałby wówczas funkcjonał $f\in X^{\ast }$ oraz liczba $a>0$ o tej własności, że

$\mathrm{R}\mathrm{e}⟨{\kappa }_{X^{\ast }}f,\phi ⟩>a>\sup \{\mathrm{R}\mathrm{e}⟨{\kappa }_{X^{\ast }}f,x⟩:x\in \stackrel{{\mathrm{w}}^{\ast }}{\overline{{\kappa }_X(B_X)}}\}=\sup \{|⟨{\kappa }_{X^{\ast }}f,x⟩|:x\in \stackrel{{\mathrm{w}}^{\ast }}{\overline{{\kappa }_X(B_X)}}\}.$

Z drugiej jednak strony,

$\begin{array}{cc}& \sup \{|⟨{\kappa }_{X^{\ast }}f,x⟩|:x\in \stackrel{{\mathrm{w}}^{\ast }}{\overline{{\kappa }_X(B_X)}}\}\\ =& \sup \{|⟨x,f⟩|:x\in \stackrel{{\mathrm{w}}^{\ast }}{\overline{{\kappa }_X(B_X)}}\}\\ ⩾& \sup \{|⟨x,f⟩|:x\in {\kappa }_X(B_X)\}\\ =& \sup \{|⟨f,x⟩|:x\in B_X\}\\ =& \Vert f\Vert .\end{array}$

To jednak prowadzi do sprzeczności, gdyż

$|\mathrm{R}\mathrm{e}⟨{\kappa }_{X^{\ast }}f,\phi ⟩|⩽|⟨{\kappa }_{X^{\ast }}f,\phi ⟩|=|⟨\phi ,f⟩|⩽\Vert \phi \Vert \cdot \Vert f\Vert ⩽\Vert f\Vert$

(bo $\phi$ należy do $B_{X^{\ast \ast }}$), ale

$\Vert f\Vert <\mathrm{R}\mathrm{e}⟨{\kappa }_{X^{\ast }}f,\phi ⟩$Szablon:OdnSzablon:Odn.

Uwagi

W 1948 Jacques Dixmier udowodnił, że twierdzenie w pewnym sensie przeciwne w konktekście *-słabych topologii w przestrzeni sprzężonej nie jest prawdziwe. Dokładniej, istnieje przestrzeń Banacha $X$ o tej własności, że dla pewnej podprzestrzeni $F$ jej przestrzeni sprzężonej $X^{\ast },$ która jest *-słabo gęsty i dla każdego $0<r⩽1$ zbiór

$B_r\cap F$

nie jest *-słabo gęsty. $B_r$ oznacza kulę w przestrzeni $X^{\ast }$ o środku w zerze i promieniu $r$.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę