Twierdzenie Fejéra

Twierdzenie Fejéra – twierdzenie analizy harmonicznej, mówiące, że ciąg tzw. sum Fejéra rzeczywistej funkcji całkowalnej w sensie Lebesgue’a, okresowej, o okresie 2π i ciągłej jest do niej zbieżny jednostajnie. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska węgierskiego matematyka, Lipóta Fejéra.

Pojęcia wstępne

Jeśli $f:[-\pi ,\pi ]\to ℂ$ jest całkowalna w sensie Lebesgue’a, to ciąg $\hat{f}:\mathbb{Z}\to ℂ$ dany wzorem

$\hat{f}(k)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)e^{-ikx}dx$

nazywamy transformatą Fouriera funkcji $f,$ natomiast ciąg $(s_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ dany wzorem

$s_n(x)=\sum _{k=-n}^n\hat{f}(k)e^{ikx}$ dla $x\in ℝ$

nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu Fouriera funkcji $f.$ Jeżeli $D_n$ jest $n$-tym jądrem Dirichleta oraz $x\in ℝ,$ to

$s_n(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{D}_n(x-y)f(y)dy.$

Jeśli $(s_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ciągiem sum częściowych szeregu Fouriera funkcji $f,$ to ciąg $({\sigma }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ dany wzorem

${\sigma }_n(x)=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{s}_k$ dla $x\in ℝ$

nazywamy ciągiem sum Fejéra funkcji $f.$

Twierdzenie Fejéra

Jeżeli $f:ℝ\to ℂ$ jest całkowalna w sensie Lebesgue’a oraz okresowa o okresie $2\pi ,$ to ciąg $({\sigma }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jej sum Fejéra jest do niej jednostajnie zbieżny.

Uwagi o dowodzie

Powyższe twierdzenie można udowodnić korzystając z faktów:

• Funkcja ciągła i okresowa jest ograniczona.
• Funkcja ciągła określona na przedziale zwartym jest jednostajnie ciągła.

W wypowiedzi twierdzenia zamiast całkowalności ma być oczywiście ciągłość!!! (natomiast z należenia do przestrzeni L^p wynika zbieżność σ_n do f w normie tejże przestrzeni dla 1≤p<∞)

Zastosowania

• Jeżeli $f:ℝ\to ℂ$ jest całkowalna w sensie Lebesgue’a oraz okresowa o okresie $2\pi ,$ $x\in ℝ$ oraz sum częściowych szeregu Fouriera funkcji $f$ w punkcie $x$ jest zbieżny do $f(x),$ to funkcja $f$ daje się przedstawić w postaci swojego szeregu Fouriera:

$f(x)=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}((a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx)),$

gdzie $a_n,b_n$ oznaczają wzory Eulera-Fouriera dla funkcji $f.$

Korzystając z kryterium Weierstrassa oraz powyższego wnoisku można udowodnić następujące twierdzenie:

• Jeżeli $f:ℝ\to ℂ$ jest całkowalna w sensie Lebesgue’a oraz okresowa o okresie $2\pi$ oraz szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(|a_n|+|b_n|)<\mathrm{\infty },$

to jej szereg Fouriera jest do niej jednostajnie zbieżny.

Innym wnioskiem z twierdzenia Fejéra jest następujący fakt:

• Jeżeli $f:ℝ\to ℂ$ jest całkowalna w sensie Lebesgue’a oraz okresowa o okresie $2\pi$ oraz $f{|}_{[-\pi ,\pi ]}$ jest funkcją klasy C¹, to jej szereg Fouriera jest do niej jednostajnie zbieżny.

Twierdzenia Fejéra używa się także w dowodzie zupełności układu trygonometrycznego, tzn. twierdzenia mówiącego, że jeśli funkcja $f:[-\pi ,\pi ]\to ℂ$ jest całkowalna z kwadratem, to

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}|f(x)-\sum _{k=-n}^n\hat{f}(k)e^{ikx}{|}^{2}dx=0.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę