Twierdzenie Łuzina

Twierdzenie Łuzina – jedno z podstawowych twierdzeń teorii miary dotyczące przybliżania funkcji mierzalnych na prostej rzeczywistej (bądź ogólniej, na przestrzeniach z miarą Radona) przez funkcje ciągłe. Twierdzenie opublikowane w 1912 przez Łuzina. Littlewood wypowiedział nieformalnie twierdzenie Łuzina w następujący sposób: funkcje mierzalne są niemal ciągłeSzablon:Odn (zob. trzy zasady analizy rzeczywistej Littlewooda).

Klasyczna wersja

Niech

$f:[a,b]\to ℂ$

będzie funkcją mierzalną. Wówczas dla każdego $\epsilon >0$ istnieje taki zbiór zwarty $K\subseteq [a,b],$ że zawężenie $f{|}_K$ jest funkcją ciągłą oraz

$\mu (K)>b-a-\epsilon ,$

przy czym $\mu$ oznacza miarę Lebesgue’aSzablon:Odn.

Wersje ogólne

Wersja dla przestrzeni polskich

Niech $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ będzie przestrzenią polską ze skończoną miarą borelowską oraz niech $Y$ będzie przestrzenią topologiczną spełniającą drugi aksjomat przeliczalności. Jeżeli

$f:X\to Y$

jest funkcją mierzalną, to dla każdego $\epsilon >0$ istnieje taki zbiór zwarty $K\subseteq X,$ że

$\mu (X\setminus K)<\epsilon$

oraz restrykcja $f{|}_K$ jest funkcją ciągłąSzablon:OdnSzablon:Odn.

Wersja dla przestrzeni lokalnie zwartych

Niech $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ będzie przestrzenią lokalnie zwartą z miarą borelowską, która przyjmuje skończone wartości na zbiorach zwartych oraz jest wewnętrznie regularna na zbiorach otwartych, tj. dla każdego zbioru otwartego $U$ w $X$ zachodzi

$\mu (U)=\sup \{\mu (K):K\subseteq U,K\text{ zwarty}\}.$

Jeżeli

$f:X\to ℂ$

jest funkcją mierzalną, to dla każdego $\epsilon >0$ istnieje taki zbiór zwarty $K\subseteq X,$ że

$\mu (X\setminus K)<\epsilon$Szablon:Odn.

Wersja dla przestrzeni normalnych

Niech $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ będzie przestrzenią normalną ze skończoną miarą borelowską, która jest regularna. Jeżeli

$f:X\to ℂ$

jest funkcją mierzalną, to dla każdego $\epsilon >0$ istnieje taki zbiór domknięty $K\subseteq X,$ że

$\mu (X\setminus K)<\epsilon$

oraz restrykcja $f{|}_K$ jest funkcją ciągłąSzablon:OdnSzablon:Odn.

Aproksymacja funkcją ciągłą

Niech $Y=ℂ.$ Każda przestrzeń metryczna jest normalna, więc twierdzenie Tietzego-Urysohna stosuje się do restrykcji $f{|}_K$ w wypowiedzi twierdzenia dla przestrzeni polskich i normalnych. W przypadku dotyczącym przestrzeni lokalnie zwartych zbiór $K$ jest zwarty, więc stosuje się wówczas wersja tego twierdzenia dla przestrzeni lokalnie zwartych. Oznacza to, że w każdym z tych trzech przypadków istnieje taka funkcja ciągła

$f_{\epsilon }:X\to Y,$

że

$\mu (\{x\in X:f(x)\ne g(x)\})⩽\epsilon$

oraz

$\underset{x\in X}{\sup }|f_{\epsilon }(x)|⩽\underset{x\in X}{\sup }|f(x)|$Szablon:Odn.

W przypadku lokalnie zwartym, $f_{\epsilon }$ może być dodatkowo dobrana tak by znikała ona w nieskończoności, tj. dla każdego $\delta >0$ zbiór

$\{x\in X:|f_{\epsilon }(x)|⩾\delta \}$

jest zwartySzablon:Odn.

Sformułowanie twierdzenia dla funkcji przyjmujących wartości w przestrzeniach spełniających drugi aksjomat przeliczalności pochodzi od SchaerfaSzablon:Odn.

Dowód wersji twierdzenia dla przestrzeni polskich

Niech $\epsilon >0.$ Niech

$𝒱=\{V_j:j\in \mathbb{N}\}$

będzie (przeliczalną) bazą przestrzeni $Y.$ Każda skończona miara borelowska na przestrzeni metrycznej jest regularnaSzablon:Odn, więc z mierzalności funkcji $f$ wynika, że dla każdej liczby naturalnej $j$ można wybrać taki zbiór otwarty $U_j\subseteq X,$ że

• $U_j\supseteq f^{-1}(V_j),$
• $\mu (U_j\setminus f^{-1}(V_j))<\frac{\epsilon }{2^j}.$

Niech

$H=\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(U_j\setminus f^{-1}(V_j))$

oraz $E=X\setminus H.$

Wówczas $H,E\in \mathrm{\Sigma }$ oraz

$\mu (H)⩽\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (U_j\setminus f^{-1}(V_j))⩽\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\epsilon }{2^j}=\epsilon .$

Niech $g=f{|}_E.$ Wówczas

Szablon:Wzór

Istotnie, inkluzja od prawej do lewej zachodzi z samego określenia przeciwobrazu. Ponadto,

$\begin{array}{cc}{U}_j\cap E& \subseteq U_j\cap [X\setminus (U_j\cap f^{-1}(U_j))]\\ & =U_j\cap X\cap [(X\setminus U_j)\cup f^{-1}(V_j)]\\ & =f^{-1}(V_j),\end{array}$

co dowodzi Szablon:LinkWzór.

Należy wykazać, że funkcja $g$ jest ciągła. Niech $V$ będzie zbiorem otwartym w $Y.$ Wówczas

$V=\bigcup _{j\in M}{V}_j$

dla pewnego zbioru $M\subseteq \mathbb{N}$ z uwagi na to, że rodzina $𝒱$ jest bazą przestrzeni $Y.$ Stąd,

$g^{-1}(V)=\bigcup _{j\in M}{g}^{-1}(V_j)=E\cap \bigcup _{j\in M}{U}_j,$

co oznacza, że zbiór $g^{-1}(V)$ jest otwarty w (topologii podprzestrzeni) $E.$

Z lematu Łuzina wynika istnienie takiego zbioru zwartego $K\subseteq E,$ że

$\mu (X\setminus K)<\epsilon .$Szablon:OdnSzablon:Odn.

Zastosowania

Aproksymacja prawie wszędzie funkcji mierzalnych przez funkcje ciągłe

Niech $X$ będzie przestrzenią normalną oraz niech $\mu$ będzie skończoną regularną miarą borelowską na $X$ bądź niech $X$ będzie przestrzenią lokalnie zwartą oraz niech $\mu$ będzie miarą borelowską, która jest skończona na zbiorach zwartych oraz jest wewnętrzenie regularna na zbiorach otwartych. Wówczas dla każdej funkcji mierzalnej

$f:X\to ℂ$

istnieje ciąg funkcji ciągłych

$f_n:X\to ℂ,$

który jest zbieżny do $f$ zbieżność prawie wszędzie oraz

$\underset{x\in X}{\sup }|f_n(x)|⩽\underset{x\in X}{\sup }|f(x)|(n\in \mathbb{N})$Szablon:Odn.

Gęstość funkcji ciągłych o zwartym nośniku w przestrzeniach funkcji całkowalnych

Szablon:Osobny artykuł W przypadku, gdy $X$ jest przestrzenią lokalnie zwartą oraz $\mu$ jest miarą borelowską, która jest skończona na zbiorach zwartych oraz jest wewnętrzenie regularna na zbiorach otwartych, dla każdego $p\in [1,\mathrm{\infty })$ przestrzeń $C_c(X)$ funkcji ciągłych o zwartym nośniku jest gęsta w przestrzeni $L_p(\mu )$.

Istotnie, $C_b(X)$ jest podzbiorem $L_p(\mu ),$ gdyż dla każdej funkcji $g\in C_c(X)$ zachodzi

$\underset{X}{\int }|g(x){|}^p\mu (\mathrm{d}x)⩽\mu (\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}g)\cdot \underset{x\in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}g}{\sup }|g(x){|}^p<\mathrm{\infty }$Szablon:Odn,

gdzie skończoność $\mu (\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}g)$ wynika z założenia o skończoności miary $\mu$ na zbiorach zwartych a nierówność

$\underset{x\in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}g}{\sup }|g(x){|}^p<\mathrm{\infty }$

wynika z twierdzenia Weierstrassa. Niech $f\in L_p(\mu ).$ Ponieważ funkcje prawie wszędzie ograniczone w $L_p(\mu )$ są gęste bez straty ogólności można przyjąć, że $f$ jest wszędzie ograniczona. Oznaczmy

$M=\underset{x\in X}{\sup }|f(x)|.$

Niech dany będzie $\epsilon >0.$ Z twierdzenia Łuzina wynika, że istnieje wówczas taki zbiór zwarty $K$ oraz funkcja $g\in C_c(X),$ że

• $g{|}_K=f{|}_K,$
• $\underset{x\in X}{\sup }|g(x)|⩽M,$
• $\mu (X\setminus K)<\frac{{\epsilon }^p}{(2M{)}^p}.$

Wówczas

$\Vert f-g{\Vert }_{L_p(\mu )}^p=\underset{X\setminus K}{\int }|f(x)-g(x){|}^p\mu (\mathrm{d}x)⩽\mu (X\setminus K)\cdot \underset{x\in X\setminus K}{\sup }|f(x)-g(x){|}^p⩽\frac{{\epsilon }^p}{(2M{)}^p}\cdot (2M{)}^p={\epsilon }^p,$

co dowodzi gęstości $C_c(X)$ w $L_p(\mu ).$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Zdzisław Denkowski, Stanisław Migórski, Nikolaos S. Papageorgiou, An Introduction to Nonlinear Analysis: Theory, Kluwer Academic/Plenum Publishers, Boston-Dordrecht-London-New York 2003, Szablon:ISBN.
• Szablon:Cytuj książkę
• John Littlewood, Lectures on the Theory of Functions. Oxford University Press, 1944.
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę