Tożsamość Selberga

Tożsamość Selberga, wzór asymptotyczny Selberga (ang. Selberg's identity, Selberg's asymptotic formula) – zależność asymptotyczna dotycząca liczb pierwszych, wykorzystywana w teorii liczb - szczególnie w elementarnych dowodach twierdzenia o liczbach pierwszych. Została ona udowodniona w marcu 1948 r. przez Atle Selberga i zaproponowana w artykule Paula Erdősa z 1949 r.

Treść tożsamości

Wzór asymptotyczny Selberga występuje pod wieloma różnymi formami. Wśród najczęściej stosowanych występują

$\vartheta (x)\log x+\sum _{p⩽x}\vartheta \left(\frac{x}{p}\right)\log p=2x\log x+O(x)$

lub równoważnie

$\psi (x)\log x+\sum _{p⩽x}\psi \left(\frac{x}{p}\right)\log p=2x\log x+O(x)$,

gdzie $\vartheta$ i $\psi$ to odpowiednio pierwsza i druga funkcja Czebyszewa, a w podanych sumach występują jedynie liczby pierwsze $p⩽x$. Inną, rzadziej wykorzystywaną postacią, ale nie korzystającą z dodatkowych funkcji jest

$\sum _{p<x}(\log p{)}^2+\sum _{pq<x}\log p\log q=2x\log x+O(x)$.

Tożsamość dla funkcji von Mangoldta

Tożsamością, która może posłużyć jako lemat w dowodzie zależności asymptotycznej, jest (również nazywana tożsamością Selberga) równość

$\Lambda (n)\log n+\sum _{d|n}\Lambda (d)\Lambda \left(\frac{n}{d}\right)=\sum _{d|n}\mu (d){(\log \frac{n}{d})}^2$,

gdzie $\Lambda$ oznacza funkcję von Mangoldta, a $\mu$ funkcję Möbiusa.

Dowód: Dla dowolnej funkcji arytmetycznej $f$ oznaczmy przez $f^{\prime }$ funkcję daną wzorem $f^{\prime }(n):=f(n)\log n$, gdzie czynnik, przez który funkcja jest przemnożona, to logarytm naturalny. Można wykazać, że tak zdefiniowane funkcje spełniają własności:

• $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$,
• $(f\ast g{)}^{\prime }=f^{\prime }\ast g+f\ast g^{\prime }$, gdzie $\ast$ oznacza splot Dirichleta,
• $(f^{-1}{)}^{\prime }=-f^{\prime }\ast (f\ast f{)}^{-1}$, gdzie $f^{-1}$ oznacza odwrotność Dirichleta $f$, pod warunkiem, że $f(1)\ne 0$.

Pierwsza równość jest oczywista, druga jest prawdziwa, ponieważ

$(f\ast g{)}^{\prime }(n)=\sum _{d|n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)\log n=\sum _{d|n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)\log d+\sum _{d|n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)\log \frac{n}{d}=(f^{\prime }\ast g)(n)+(f\ast g^{\prime })(n)$.

Trzecia równość wynika z drugiej, ponieważ

$0=(f\ast f^{-1}{)}^{\prime }=f^{\prime }\ast f^{-1}+f\ast (f^{-1}{)}^{\prime }$,

więc

$f\ast (f^{-1}{)}^{\prime }=-f^{\prime }\ast f^{-1}$.

Mnożąc obie strony przez $f^{-1}$, otrzymuje się

$(f^{-1}{)}^{\prime }=-(f^{\prime }\ast f^{-1})\ast f^{-1}=-f^{\prime }\ast (f^{-1}\ast f^{-1})=-f^{\prime }\ast (f\ast f{)}^{-1}$.

Można teraz przystąpić do dowodu tożsamości. Należy tu skorzystać ze znanej tożsamości dla funkcji von Mangoldta, tzn. ${\sum }_{d|n}\Lambda (d)=\log n$. Zapisując tę równość w splocie Dirichleta, $\Lambda \ast 1=1^{\prime }$, gdzie $1(n)=1$ dla wszystkich $n\in \mathbb{N}$. Stąd

$(\Lambda \ast 1{)}^{\prime }={\Lambda }^{\prime }\ast 1+\Lambda \ast 1^{\prime }=1^{″}$.

Podstawiając $1^{\prime }=\Lambda \ast 1$, wzór przekształca się do

${\Lambda }^{\prime }\ast 1+\Lambda \ast (\Lambda \ast 1)=1^{″}$.

Obie strony mnoży się przez $\mu =1^{-1}$, żeby otrzymać

${\Lambda }^{\prime }+\Lambda \ast \Lambda =1^{″}\ast \mu$.

Powyższa jest poszukiwaną tożsamością.

Funkcja generująca

Współczynniki $c_n=\Lambda (n)\log n+{\sum }_{d|n}\Lambda (d)\Lambda (n/d)$ występujące po lewej stronie tożsamości są współczynnikami szeregu Dirichleta

$\frac{{\zeta }^{″}}{\zeta }(s)=\left(\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }\right)(s)+{\left(\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }\right)}^2(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_n}{n^s}$,

gdzie $\zeta$ oznacza funkcję zeta Riemanna. Funkcja ta ma biegun rzędu 2 w $s=1$ ze współczynnikiem 2, dlatego w szacowaniu ${\sum }_{n<x}{c}_n$ pojawia się wyrażenie $2x\log x$.

Ogólna postać wzoru

Jak pisał Atle Selberg w liście do Doriana Goldfelda z 6 stycznia 1998r., otrzymana tożsamość pokazuje, że funkcje Czebyszewa spełniają zależność postaci

$f(x)\log x+{\int }_1^{x}f\left(\frac{x}{t}\right)df(t)=2x\log x+O(x)$.

Tożsamość Selberga miała posłużyć udowodnieniu, że $\psi (x)\sim x$. Jednak w ogólności można skonstruować kontrprzykład - niemonotoniczną funkcję $f$, dla której powyższa zależność jest spełniona, ale $f(x)\sim ̸x$.