Rozszerzenie algebraiczne

Rozszerzenie algebraiczne – w teorii ciał rozszerzenie $L$ ciała $K,$ którego każdy element jest algebraiczny nad $K.$

Rozważania nad rozszerzeniem ciała $K$ o pewien element $a,$ należący do ciała $L,$ które samo stanowi rozszerzenie ciała $K,$ Jerzy Browkin zaczyna od wprowadzenia pewnego homomorfizmu $\phi ,$ mianowicie takiego, który elementom pierścienia wielomianów $K[x]$ przyporządkowywać będzie wartość, jaką dany wielomian przyjmuje po podstawieniu za $x$ $a.$ Formalizując, $\phi (f(x))=f(a)$Szablon:Odn.

Jądrem skonstruowanego w ten sposób homomorfizmu będzie zbiór tych tylko wielomianów z $K[x],$ które przyjmują dla zmiennej $a$ wartość $0.$ W dalszym ciągu przywołać należy, że $L$ stanowi ciało, a każde ciało jest dziedziną całkowitościSzablon:Odn. Dowodzi się zaś, że jeśli dany pierścień ilorazowy $P/I$ jest dziedziną całkowitości, to ideał $I$ jest pierwszySzablon:Odn. Skoro tak, to i jądro rozpatrywanego homomorfizmu $\phi$ musi być ideałem pierwszym. Pierścień wielomianów ma ideały pierwsze w postaci bądź ideału zerowego, bądź to ideałów maksymalnych, a każdy ideał tego pierścienia jest główny – skoro więc ma być to jednocześnie ideał maksymalny, będzie on generowany przez pewien wielomian nierozkładalnySzablon:Odn.

W pierwszym przypadku jądrem $\phi$ może być wielomian zerowySzablon:Odn. Oznacza to, że żaden inny wielomian nie znika dla elementu $a.$ Element ten, nie będąc pierwiastkiem żadnego niezerowego wielominanu, określa się jako przestępnySzablon:Odn. Homomorfizm $\phi$ będzie wtedy zanurzeniemSzablon:Odn. Wskazuje się wtedy izomorfizm pomiędzy zbiorem $f(a)$ a $K[x]$ i podobnie między zbiorem ilorazów elementów tego zbioru z $K(x).$ Dowodzi się w takim wypadku, że $K(a)$ jest izomorficzne z ciałem funkcji wymiernych od $x,$ co wskazuje na nieskończenie liczną bazę rozszerzenia $(K(a):K)$Szablon:Odn.

W drugim przypadku jądrem $\phi$ będzie ideał generowany przez pewien wielomian nierozkładalny $f,$ taki, że $a$ stanowi jego pierwiastekSzablon:Odn. Taki element rozszerzenia, będący pierwiastkiem niezerowego wielomianu z pierścienia $K[x],$ nazywa się elementem algebraicznym nad tym ciałemSzablon:Odn. Wobec powyższego każdy wielomian $g$ wzięty z $K[x],$ jeśli znika po podstawieniu $a$ za $x,$ to należy do jądra $\phi .$ Z uwagi na właściwości tegoż jądra musi więc być wielokrotnością $f.$ Czyni to ten ostatni jedynym nierozkładalnym wielomianem przyjmującym dla $x$ wartość $0$Szablon:Odn. W dalszych rozważaniach korzysta się z twierdzenia o izomorfizmie. Wynika z niego, że izomorficzne w stosunku do siebie są dwa pierścienie, z których pierwszy to $\phi (K[x]),$ a drugi to pierścień ilorazowy $K[x]$ przez $(f).$ Jako że $(f)$ oznacza tutaj ideał maksymalny generowany przez $f,$ drugi pierścień jest ciałem. Wobec izomorfizmu oba pierścienie to ciała. Pamiętając, że $\phi$ przyporządkowuje wielomianowi z $K[x]$ jego wartość dla $a,$ dochodzi się do wniosku, że $\phi (K[x])=K(a)$Szablon:Odn.

Więcej informacji na temat ciała $K(a)$ otrzymać można, przedstawiając dowolny wielomian $g$ należący do $K[x]$ w postaci $g(x)=h(x)\cdot f(x)+r(x),$ gdzie $h$ stanowi iloraz z dzielenia $g$ przez $f,$ a $r$ stanowi resztę z tego dzielenia (i dlatego stopień wielomianu $r$ winien być mniejszy od stopnia $f$). Po podstawieniu $a$ w miejsce $x$ okazuje się, że $h(a)\cdot f(a)$ się zeruje i $g(a)=r(a).$ Wobec tego $K(a)=\{r\in K[x]\},$ pamiętając o warunku nałożonym na stopień $r.$ Można wykazać jednoznaczność przedstawienia elementów $K(a)$ poprzez $r(a).$ Oznacza to, że każdy element należący do $K(a)$ stanowi kombinację liniową elementów tworzonych poprzez podnoszenie $a$ do potęg od $0$ do o $1$ mniejszej od stopnia $f.$ Wobec tego zbiór tych potęg elementu $a$ stanowić będzie bazę dokonanego rozszerzenia. Ma ona dokładnie tyle elementów, ile wynosił stopień $f$Szablon:Odn.

Z przeanalizowanych przypadków wynika, że w przypadku rozszerzenia ciała $K$ o element algebraiczny nad tym ciałem $a$ zawsze $(K(a):K)$ jest liczbą skończoną. Liczbę tę określa się jako stopień elementu $a$ względem ciała $K$Szablon:Odn. Stopień ten w przeanalizowanym przypadku równa się stopniowi rozpatrywanego nierozkładalnego wielomianu $f,$ który przyjmuje wartość $0$ po podstawieniu doń tego elementu i zwany jest sam wielomianem minimalnym dla tegoż elementuSzablon:Odn.

Powyższe rozważania można rozszerzyć na dowolną liczbę elementów z $L.$ Dla elementów algebraicznych nad $K$ od $a_1$ do $a_n$ $K(a_1,...,a_n)=\{g(a_1,...,a_n):g\in K[x_1,...,x_n]\}$ i $(K(a_1,...,a_n):K)$ również jest liczbą skończonąSzablon:Odn.

Jeżeli więc dla danego ciała $L,$ które stanowi rozszerzenie ciała $K,$ dla dowolnego jego elementu $a\in L$ zachodzi druga opisana sytuacja, to znaczy każdy element rzeczonego rozszerzenia jest algebraiczny nad $K,$ a żaden nie jest przestępny, to wtedy $L$ stanowi rozszerzenie algebraiczne $K$Szablon:Odn.

Jak wynika z powyższych rozważań, rozszerzenie algebraiczne jest skończone. Prawdą jest także implikacja w drugą stronę: mianowicie każde rozszerzenie skończone ciała jest zarazem algebraiczne. Jeśli bowiem $(L:K)$ jest skończone, to dla każdego elementu $a$ wziętego z $L$ rozszerzenie $K(a)$ będzie podciałem $L.$ Wobec tego $(K(a):K)$ nie będzie mogło być większe od $(K:L),$ które przyjmuje skończoną wartość. W efekcie $(K(a):K)$ także będzie miało wartość skończoną. Wobec tego rozszerzenie to będzie podpadać pod drugi z rozważanych przykładów i element $a$ będzie algebraiczny nad tym ciałem. Jako że tyczy się to dowolnego elementu wybranego z ciała $L,$ rozszerzenie musi więc być algebraiczneSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj