Ideał główny

Z testwiki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Ideał główny – ideał (lewo-, prawo- bądź dwustronny) generowany przez podzbiór jednoelementowy pierścienia. Jeżeli a jest elementem pierścienia R z jedynką, to:

  • prawostronny ideał główny aR jest równy
{a⋅b :b∈R},
  • lewostronny ideał główny Ra jest równy
{b⋅a :b∈R},
  • dwustronny ideał główny RaR jest równy
{b1⋅a⋅b'1+…+bn⋅a⋅b'n:bi,b'i∈R}.

Jeśli R jest pierścieniem przemiennym to powyższe zbiory są równe. W takim przypadku ideał generowany przez element a pierścienia R oznacza się (a). Mówi się, że R jest pierścieniem ideałów głównych wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ideały w R są główne. Dodatkowo, gdy R jest przemienny, nazywa się go dziedziną ideałów głównych.

Własności

  • Jeżeli a i b są niezerowymi elementami pierścienia R, to (a)=(b) wtedy i tylko wtedy, gdy a∼b, przy czym ∼ oznacza relację stowarzyszenia tj. a∼b ⇔ a dzieli b oraz b dzieli a.
  • Jeżeli K jest ciałem, to każdy ideał pierścienia wielomianów K[x] jest główny.

Przykłady

  • Każdy ideał w pierścieniu liczb całkowitych ℤ jest ideałem głównym i jest postaci
(n)={n⋅a:a∈ℤ}.
  • Niech dany będzie pierścień macierzy typu 2×2 o elementach z pierścienia liczb całkowitych. Elementem tego pierścienia jest na przykład macierz [0100]. Ideał główny lewostronny generowany przez tę macierz składa się z macierzy postaci [0a0b], gdzie a i b są dowolnymi liczbami całkowitymi, natomiast ideał główny prawostronny generowany przez tę macierz składa się z macierzy postaci [cd00], gdzie c i d są dowolnymi liczbami całkowitymi. Wynika stąd, że prawostronne i lewostronne ideały główne generowane przez ten sam element nie muszą być równe.
  • Jeśli pierścień jest dziedziną Euklidesa, to jest pierścieniem ideałów głównych.

Bibliografia

Źródło: „https://pl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Ideał_główny&oldid=1684”