Równanie Lapunowa

Równanie Lapunowa – w teorii sterowania to jedno z następujących równań:

• dyskretne równanie Lapunowa:

$AX{A}^H-X+Q=0,$

gdzie $Q$ jest macierzą hermitowską, a $A^H$ jest transpozycją sprzężoną macierzy $A;$

• dyskretne równanie Lapunowa w postaci:

$AX+X{A}^H+Q=0.$

Równania Lapunowa występują w wielu zagadnieniach teorii sterowania takich jak analiza stabilności Lapunowa i sterowanie optymalne (zob. algebraiczne równanie Riccatiego).

Zastosowanie do stabilności

W poniższych twierdzeniach $A,P,Q\in {ℝ}^{n\times n},$ i $P$ oraz $Q$ są symetryczne. Notacja $P>0$ oznacza, że macierz $P$ jest macierzą dodatnio określoną.

Twierdzenie dla przypadku czasu ciągłego

Jeśli istnieje $P>0$ i $Q>0$ spełniająca $A^{T}P+PA+Q=0,$ wówczas układ liniowy $\dot{x}=Ax$ jest globalnie asymptotycznie stabilny. Funkcja kwadratowa $V(z)=z^{T}Pz$ jest funkcją Lapunowa, która może być użyta do weryfikacji stabilności.

Twierdzenie dla przypadku czasu dyskretnego

Jeśli istnieje $P>0$ i $Q>0$ spełniająca $A^{T}PA-P+Q=0,$ wówczas układ liniowy $x(t+1)=Ax(t)$ jest globalnie asymptotycznie stabilny. Podobnie jak w twierdzeniu powyżej $z^{T}Pz$ jest funkcją Lapunowa.

Aspekty obliczeniowe rozwiązań

Korzystając z uzupełnienia Schura, dyskretne równanie Lapunowa można zapisać w postaci:

$\left[\begin{array}{cc}{X}^{-1}& A\\ A^H& X-Q\end{array}\right]=0$

lub równoważnie:

$\left[\begin{array}{cc}X& XA\\ A^{H}X& X-Q\end{array}\right]=0.$

Przy rozwiązywaniu równań Lapunowa można posłużyć się dostępnym specjalistycznym oprogramowaniem. W przypadku dyskretnym często stosuje się metodę Schura podaną przez Kitagawa (1977). W przypadku ciągłym można posłużyć się metodą Bartelsa i Stewarta (1972).

Rozwiązanie analityczne

Dla równań dyskretnych czasu dyskretnego istnieje rozwiązanie analityczne. Definiuje się operator $\mathrm{vec}(A)$ jako złożenie kolumn macierzy $A$ (zob. wektoryzacja). Ponadto definiuje się $kron(A,B)$ jako iloczyn Kroneckera macierzy $A$ i $B.$ Korzystając z następującego wyniku:

$\mathrm{vec}(ABC)=kron(C^T,A)\mathrm{vec}(B),$

otrzymuje się:

$(I-kron(A^T,A^T))\mathrm{vec}(X)=\mathrm{vec}(Q),$

gdzie $I$ jest zgodną macierzą jednostkową.

Można wówczas znaleźć rozwiązanie $\mathrm{vec}(X)$ przez odwrócenie lub przez rozwiązanie równań liniowych. Aby uzyskać $X$ wystarczy odpowiednio przekształcić $\mathrm{vec}(X).$

Zobacz też

• algebraiczne równanie Riccatiego
• równanie Sylvestera
• Aleksandr Lapunow